Curiosidad matemáticaMathematical curiosity

Ya sé que esto se llama Dudas Cosmológicas y no Dudas Matemáticas, pero no he podido resistirme a incluir esta entrada, no relacionada con la temática del blog.

 

 Hace muchos años, cuando estudiaba dibujo geométrico y técnico, nos dijeron en una ocasión, que no existe ningún método gráfico para dividir un ángulo en tres partes iguales y que, ya los antiguos griegos habían encontrado una demostración de que no podía existir tal método.

Una persona normal, que estuviese interesada especialmente en este asunto, buscaría esa demostración para ver cómo llegaron a tal conclusión. Pero yo no me tengo por una persona normal y decidí atacar el problema por mis propios medios. Y me alegro de ello porque, aunque no me he demostrado nada y, como se verá a continuación, todo se podría haber planteado de una manera más sencilla, me encontré con curiosidades matemáticas que desconocía y que me apetece compartir en esta entrada.

Para empezar, consideré que podía dibujar algo que me diera una pista de cómo atacar el problema y pensé en encontrar algo parecido a un lugar geométrico que relacionase cualquier ángulo con otro que tuviese un tercio del mismo. En la figura, se muestra cómo llegamos al primero de esos puntos del l.g.

Luego comencé a dibujar varios de esos puntos, para ver si, uniéndolos, tenía una pista del tipo de curva que se obtenía aunque, a primera vista, no intuía claramente de qué se trataba.

 Entonces, entró en juego la parte analítica y decidí encontrar una ecuación algebraica del l.g. Veamos cómo hacerlo:
 

Para empezar, decidí facilitar los cálculos, llamando 3α  al ángulo mayor y α al fraccionario que, para el caso, nos da el mismo resultado.

 

Si el círculo blanco es de radio 1 y, teniendo en cuenta que tg (90- α) = 1/tg(α), vemos en la figura que las coordenadas de un punto genérico del l.g. son:

P[sen (3 α)/ tg (α) , sen(3 α)]

Usando un programa de representación geométrica (Geogebra), surgió esta bonita figura:
 

 Pero decidí no quedarme ahí. ¿Se podría obtener una curva, no solo para tres divisiones de un ángulo, sino para otros valores enteros? Modificando la ecuación, me quedé sorprendido con la variedad de curvas obtenidas y la diferencia en el número de lóbulos si el valor es par o impar. 

 

Como podemos comprobar, cuando n es impar, el número de lóbulos es 2(n-1) y cuando n es par los lóbulos existentes son (n-1).

Aunque parezca una tontería, me llamó especialmente la atención la simplicidad (lógicamente) de la curva para el valor 2. Es una tontería usarla para hallar una bisectriz, ya que el método habitual es muy sencillo, pero el que se muestra, también es curioso y fácil.

Como nota adicional, se puede reescribir esta ecuación en forma polar y se obtiene:

	{	ρ=sen (nα)/sen(α)
C(ρ,θ):
		θ= α

Y, claro, algo más tarde, no podía dejar el tema quieto y me pregunté por qué dejarlo solo en valores enteros. Entonces se me ocurrió que se podía intentar encontrar una superficie que representara todos estos valores a la vez, enteros o no:

 

Si tenéis la posibilidad de jugar con esta función con distintos parámetros, en programas como el que he usado para esta última visualización (Wolfram Mathematica), os lo recomiendo. Aquí solo se ve la superficie a grandes rasgos, pero tiene mucho más jugo que sacarle. Por ejemplo, si se observa lo que pasa con valores no enteros, la curva no se cierra, sino que se extienden hasta el infinito en el eje x y, además, cada curva individual que he representado, es periódica para valores enteros, o sea, se repite a partir de 2π, pero las que no son enteras van haciéndose más y más complejas.

A modo de ejemplo, aquí hay unas imágenes de cómo se enreda una de estas funciones con un parámetro no entero:

Desconozco si a partir de 10π se hace periódica o la capacidad de representación del programa no puede discriminar los cambios pero, a partir de este valor la imagen no cambia.
Y todo lo que hemos visto sucede para cada valor no entero del parámetro, una infinidad de curvas diferentes que dan una belleza enorme a la superficie que las contiene y que es difícil de apreciar en todo su esplendor, sea cual sea el programa de representación que usemos.

Supongo que alguien normal se preguntará: ¿y todo esto, para qué? Pero aquellos que no sean normales, como yo, y los frikis de las matemáticas, apreciarán la belleza de esta construcción. Posiblemente, antes de mí, ya haya habido alguien que haya encontrado esta maravilla, pero me complace haber llegado a ella por mis propios medios.

 

 Many years ago, when I was studying geometric and technical drawing, we were once told that there is no graphic method for dividing an angle into three equal parts and that the ancient Greeks had already found proof that no such method could exist.

A normal person, who was particularly interested in this matter, would look for that demonstration to see how they came to such a conclusion. But I don't think of myself as a normal person and decided to attack the problem on my own. And I am glad about it because, although I have not demonstrated anything and, as will be seen below, everything could have been raised in a simpler way, I found mathematical curiosities that I did not know and that I want to share in this post.

To begin with, I thought I could draw something that would give me a clue as to how to attack the problem and thought about finding something like a locus that would relate any angle to another that had a third of it. In the figure, it is shown how we got to the first of those points of the locus.

Then I started drawing several of those points, to see if, by joining them, I had a clue to the kind of curve you got even though, at first glance, I didn't clearly sense what it was.

 Then, the analytic part came into play and I decided to find an algebraic equation of the locus. Let's see how to do it:
 

To begin with, I decided to facilitate the calculations, calling 3α  the major angle and α the fractional which, for that matter, gives us the same result.

 

If the white circle is of radius 1 and, taking into account that tan (90- α) = 1/tan(α), we see in the figure that the coordinates of a generic point of the locus are:

P[sin (3 α)/ tan (α) , sin(3 α)]

Using a geometric representation program (Geogebra), this beautiful figure emerged:
 

 But I decided not to stay there. Could you get a curve, not just for three divisions of an angle, but for other integer values? Modifying the equation, I was surprised with the variety of curves obtained and the difference in the number of lobes whether the value is even or odd. 

 

As we can see, when n is odd, the number of lobes is 2(n-1) and when n is even the existing lobes are (n-1).

Although it may seem silly, I was particularly struck by the simplicity (logically) of the curve for the value 2. It is silly to use it to find a bisector, since the usual method is very simple, but the one shown, is also curious and easy.

As an additional note, you can rewrite this equation in polar form and you get:

	{	ρ=sin (nα)/sin(α)
C(ρ,θ):
		θ= α

And, of course, a little later, I couldn't leave the subject still and I wondered why leave it alone in integer values. Then it occurred to me that you could try to find a surface that represented all these values at once, integer or not:

 

If you have the possibility to play with this function with different parameters, in programs such as the one I have used for this last visualization (Wolfram Mathematica), I recommend it. Here you only see the surface in broad strokes, but it has much more juice to take out. For example, if you look at what happens with non-integer values, the curve does not close, but extends to infinity on the x-axis and, in addition, each individual curve that I have represented, is periodic for integer values, that is, it is repeated from 2π, but those that are not integers become more and more complex.

As an example, here are some images of how one of these functions is entangled with a non-integer parameter:

I do not know if from 10π it becomes periodic or the rendering capacity of the program cannot discriminate the changes but, from this value the image does not change.
And everything we've seen happens for every non-integer value of the parameter, an infinity of different curves that give an enormous beauty to the surface that contains them and that is difficult to appreciate in all its splendor, whatever the rendering program we use.

I guess someone normal will ask: and all this, for what? But those who are not normal, like me, and the geeks of mathematics, will appreciate the beauty of this construction. Possibly, before me, there has already been someone who has found this wonder, but I am pleased to have come to it on my own.