jueves, 12 de agosto de 2021

Curiosidad matemática

Ya sé que esto se llama Dudas Cosmológicas y no Dudas Matemáticas, pero no he podido resistirme a incluir esta entrada, no relacionada con la temática del blog.

 

 Hace muchos años, cuando estudiaba dibujo geométrico y técnico, nos dijeron en una ocasión, que no existe ningún método gráfico para dividir un ángulo en tres partes iguales y que, ya los antiguos griegos habían encontrado una demostración de que no podía existir tal método.

Una persona normal, que estuviese interesada especialmente en este asunto, buscaría esa demostración para ver cómo llegaron a tal conclusión. Pero yo no me tengo por una persona normal y decidí atacar el problema por mis propios medios. Y me alegro de ello porque, aunque no me he demostrado nada y, como se verá a continuación, todo se podría haber planteado de una manera más sencilla, me encontré con curiosidades matemáticas que desconocía y que me apetece compartir en esta entrada.

Para empezar, consideré que podía dibujar algo que me diera una pista de cómo atacar el problema y pensé en encontrar algo parecido a un lugar geométrico que relacionase cualquier ángulo con otro que tuviese un tercio del mismo. En la figura, se muestra cómo llegamos al primero de esos puntos del l.g.


Luego comencé a dibujar varios de esos puntos, para ver si, uniéndolos, tenía una pista del tipo de curva que se obtenía aunque, a primera vista, no intuía claramente de qué se trataba.


 Entonces, entró en juego la parte analítica y decidí encontrar una ecuación algebraica del l.g. Veamos cómo hacerlo:
 
Para empezar, decidí facilitar los cálculos, llamando 3α  al ángulo mayor y α al fraccionario que, para el caso, nos da el mismo resultado.


 

Si el círculo blanco es de radio 1 y, teniendo en cuenta que tg (90- α) = 1/tg(α), vemos en la figura que las coordenadas de un punto genérico del l.g. son:

P[sen (3 α)/ tg (α) , sen(3 α)]

Usando un programa de representación geométrica (Geogebra), surgió esta bonita figura:
 


 Pero decidí no quedarme ahí. ¿Se podría obtener una curva, no solo para tres divisiones de un ángulo, sino para otros valores enteros? Modificando la ecuación, me quedé sorprendido con la variedad de curvas obtenidas y la diferencia en el número de lóbulos si el valor es par o impar. 


 

Como podemos comprobar, cuando n es impar, el número de lóbulos es 2(n-1) y cuando n es par los lóbulos existentes son (n-1).

Aunque parezca una tontería, me llamó especialmente la atención la simplicidad (lógicamente) de la curva para el valor 2. Es una tontería usarla para hallar una bisectriz, ya que el método habitual es muy sencillo, pero el que se muestra, también es curioso y fácil.

Como nota adicional, se puede reescribir esta ecuación en forma polar y se obtiene:

 

{

ρ=sen (nα)/sen(α)

C(ρ,θ):



θ= α

 

Y, claro, algo más tarde, no podía dejar el tema quieto y me pregunté por qué dejarlo solo en valores enteros. Entonces se me ocurrió que se podía intentar encontrar una superficie que representara todos estos valores a la vez, enteros o no:

 


Si tenéis la posibilidad de jugar con esta función con distintos parámetros, en programas como el que he usado para esta última visualización (Wolfram Mathematica), os lo recomiendo. Aquí solo se ve la superficie a grandes rasgos, pero tiene mucho más jugo que sacarle. Por ejemplo, si se observa lo que pasa con valores no enteros, la curva no se cierra, sino que se extienden hasta el infinito en el eje x y, además, cada curva individual que he representado, es periódica para valores enteros, o sea, se repite a partir de 2π, pero las que no son enteras van haciéndose más y más complejas.

A modo de ejemplo, aquí hay unas imágenes de cómo se enreda una de estas funciones con un parámetro no entero:






Desconozco si a partir de 10π se hace periódica o la capacidad de representación del programa no puede discriminar los cambios pero, a partir de este valor la imagen no cambia.
Y todo lo que hemos visto sucede para cada valor no entero del parámetro, una infinidad de curvas diferentes que dan una belleza enorme a la superficie que las contiene y que es difícil de apreciar en todo su esplendor, sea cual sea el programa de representación que usemos.

Supongo que alguien normal se preguntará: ¿y todo esto, para qué? Pero aquellos que no sean normales, como yo, y los frikis de las matemáticas, apreciarán la belleza de esta construcción. Posiblemente, antes de mí, ya haya habido alguien que haya encontrado esta maravilla, pero me complace haber llegado a ella por mis propios medios.