Aunque la respuesta a esta pregunta se puede encontrar en muchos lugares, yo la desconocía (como tantísimas y tantísimas otras cosas), pero devanándome los sesos deduje que, al igual que existe un cero absoluto de temperatura, tenía que existir también un límite por arriba y me propuse averiguar a mi estilo cuál sería este límite. Lo extraño del tema es que en algún lugar había leído que en teoría no tenía por qué haber una temperatura máxima, aunque no recuerdo donde.
Mi línea de razonamiento inicial es que a medida que la temperatura de un cuerpo aumenta, la frecuencia de la radiación que emite también aumenta, y por consiguiente la longitud de onda disminuye en la misma proporción. Y tiene que llegar un momento en el que la longitud de onda sea tan pequeña que se acerque a la longitud de Planck, que, como ya hemos visto en otras entradas, se considera la longitud mínima donde las leyes de la física clásica dejan de tener validez. Por otro lado, la temperatura se define como la energía cinética media de las partículas en un cuerpo. Entonces tiene que haber una temperatura a la cual las partículas vayan alcanzando velocidades cercanas a las de la luz y los efectos de la relatividad empiecen a ser considerables.
Así pues, ¿echamos unos numeritos?
Según la teoría cinética de los gases:
kB T = m <v> 2/3
Siendo KB = 1.3806488 10−23 [J/K], la constante de Boltzmann, <v> la velocidad media de las moléculas de gas y m la masa del gas considerado.
Entonces para una temperatura máxima Tmax, la velocidad se aproximaría a c = 299792458 [m/s], velocidad de la luz en el vacío.
Tmax = m c2 / 3 KB
Pero como no sé qué masa poner, haré alegremente la equivalencia energética: m c2 = h fmax
Siendo h = 6.62606876 10-34 [J s], la constante de Planck y fmax la frecuencia máxima a la que aludí antes. Vamos a calcular esa frecuencia. Si hacemos que la longitud de onda sea la de Planck, tenemos:
λ = λp = 1.616199 10−35 [m],
tenemos: fmax = c/λp = 299792458/1.616199 10−35 = 1,8549 10+43 [Hz]
Con lo que:
Tmax = h fmax / 3 KB = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (3 x 1.3806488 10−23) = 2,96737 1032 [K]
Y ¿cuál sería m?:
m = h fmax / c2 = 1,36752 10-7 [Kg], que curiosamente es 2 Π mPlanck. Supongo que si hubiera cogido la constante de Planck normalizada, tendría el resultado exacto.
Pero como mi amigo Tonino cuerdamente me preguntó cuando le hable de este tema, ¿Y por qué un gas? Bueno, tendré que abordarlo también desde otro punto de vista…
Según la ley de Wien la longitud de onda del pico de radiación en un cuerpo negro es proporcional a su temperatura de acuerdo con la fórmula:
λ T = b
Siendo b = 2.8977721 10−3 [m K]
Entonces:
Tmax = b / λmin
λmin = λp = 1.616199 10−35 [m]
Tmax = 2.8977721 10−3 / 1.616199 10−35 = 1,7929539 1032 [K]
que no es exacto al valor anterior pero muy cercano (mismo orden de magnitud)…
Formulando ahora la ley de Wien en función de la frecuencia:
fmax = α kB T / h ≈ (5.879 1010 [Hz/K]) • T
con α ≈ 2.821439
De donde: T = h fmax / α kB
Y si, como hemos visto, fmax = 1,8549 10+43 [Hz]
Entonces Tmax = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (2.821439 x 1.3806488 10−23) = 3,1554985 1032 [K]
Que vuelve a ser un valor muy aproximado.
Probablemente haya cometido muchas incorrecciones en la aplicación de las fórmulas en mis cálculos, pero al ir buscando información que respaldara esta deducción descubrí que este orden de magnitud coincidía con la temperatura de Planck (realmente Tp se calcula a través de la fórmula Tp=mpc2/kB= (ħc5/GkB2)1/2 =1.416834 × 1032 K) , y que se considera que podría ser la temperatura del Universo durante el primer instante (la primera unidad del tiempo de Planck) del Big Bang.
Mi línea de razonamiento inicial es que a medida que la temperatura de un cuerpo aumenta, la frecuencia de la radiación que emite también aumenta, y por consiguiente la longitud de onda disminuye en la misma proporción. Y tiene que llegar un momento en el que la longitud de onda sea tan pequeña que se acerque a la longitud de Planck, que, como ya hemos visto en otras entradas, se considera la longitud mínima donde las leyes de la física clásica dejan de tener validez. Por otro lado, la temperatura se define como la energía cinética media de las partículas en un cuerpo. Entonces tiene que haber una temperatura a la cual las partículas vayan alcanzando velocidades cercanas a las de la luz y los efectos de la relatividad empiecen a ser considerables.
Así pues, ¿echamos unos numeritos?
Según la teoría cinética de los gases:
kB T = m <v> 2/3
Siendo KB = 1.3806488 10−23 [J/K], la constante de Boltzmann, <v> la velocidad media de las moléculas de gas y m la masa del gas considerado.
Entonces para una temperatura máxima Tmax, la velocidad se aproximaría a c = 299792458 [m/s], velocidad de la luz en el vacío.
Tmax = m c2 / 3 KB
Pero como no sé qué masa poner, haré alegremente la equivalencia energética: m c2 = h fmax
Siendo h = 6.62606876 10-34 [J s], la constante de Planck y fmax la frecuencia máxima a la que aludí antes. Vamos a calcular esa frecuencia. Si hacemos que la longitud de onda sea la de Planck, tenemos:
λ = λp = 1.616199 10−35 [m],
tenemos: fmax = c/λp = 299792458/1.616199 10−35 = 1,8549 10+43 [Hz]
Con lo que:
Tmax = h fmax / 3 KB = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (3 x 1.3806488 10−23) = 2,96737 1032 [K]
Y ¿cuál sería m?:
m = h fmax / c2 = 1,36752 10-7 [Kg], que curiosamente es 2 Π mPlanck. Supongo que si hubiera cogido la constante de Planck normalizada, tendría el resultado exacto.
Pero como mi amigo Tonino cuerdamente me preguntó cuando le hable de este tema, ¿Y por qué un gas? Bueno, tendré que abordarlo también desde otro punto de vista…
Según la ley de Wien la longitud de onda del pico de radiación en un cuerpo negro es proporcional a su temperatura de acuerdo con la fórmula:
λ T = b
Siendo b = 2.8977721 10−3 [m K]
Entonces:
Tmax = b / λmin
λmin = λp = 1.616199 10−35 [m]
Tmax = 2.8977721 10−3 / 1.616199 10−35 = 1,7929539 1032 [K]
que no es exacto al valor anterior pero muy cercano (mismo orden de magnitud)…
Formulando ahora la ley de Wien en función de la frecuencia:
fmax = α kB T / h ≈ (5.879 1010 [Hz/K]) • T
con α ≈ 2.821439
De donde: T = h fmax / α kB
Y si, como hemos visto, fmax = 1,8549 10+43 [Hz]
Entonces Tmax = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (2.821439 x 1.3806488 10−23) = 3,1554985 1032 [K]
Que vuelve a ser un valor muy aproximado.
Probablemente haya cometido muchas incorrecciones en la aplicación de las fórmulas en mis cálculos, pero al ir buscando información que respaldara esta deducción descubrí que este orden de magnitud coincidía con la temperatura de Planck (realmente Tp se calcula a través de la fórmula Tp=mpc2/kB= (ħc5/GkB2)1/2 =1.416834 × 1032 K) , y que se considera que podría ser la temperatura del Universo durante el primer instante (la primera unidad del tiempo de Planck) del Big Bang.
Although the answer to this question can be found in many places, I was unaware of it (as so many other things), but racking my brains I figured that, just as there is an absolute zero of temperature, there should be an upper limit and I decided to find out my way what this limit would be. The strange thing about this is that somewhere I had read that in theory there’s no reason why to have a maximum temperature limit, although I do not remember where it was.
My initial reasoning is that as the temperature of a body increases, the frequency of the radiation it emits also increases, and therefore its wavelength decreases at the same rate. And there must be a moment where the wavelength is so small that it approaches the length of Planck, which, as we have seen in other posts, is considered the minimum length where the laws of classical physics aren’t valid anymore. On the other hand, the temperature is defined as the kinetic energy of the particles in a body. Then there must be a temperature at which particles are reaching close to light speed in a vacuum and relativity effects have to be considered.
So, do we crunch some numbers?
According to the kinetic theory of gases:
kB T = m <v> 2/3
With KB = 1.3806488 10−23 [J/K], Boltzmann constant, <v> root mean square speed of a gas molecules y m the gas mass.
Then, for a máximum temperature Tmax, the speed approaches c = 299792458 [m/s], the speed of light in a vacuum.
Tmax = m c2 / 3 KB
But as I do not know what mass to take, I will happily do the energy equivalency: m c2 = h fmax
With h = 6.62606876 10-34 [J s], the Planck constant and fmax the maximum frequency I told before. Now we are going to calculate that frequency. If we make the wavelength equal to the Planck length, we have:
λ = λp = 1.616199 10−35 [m],
then: fmax = c/λp = 299792458/1.616199 10−35 = 1,8549 10+43 [Hz]
So:
Tmax = h fmax / 3 KB = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (3 x 1.3806488 10−23) = 2,96737 1032 [K]
And what would m be?:
m = h fmax / c2 = 1,36752 10-7 [Kg], that curiously is 2 Π mPlanck. I guess if I had taken the normalized Planck's constant, I would have had the exact result.
But as my friend Tonino wisely asked me when I told him about this topic, why a gas? Well, I'll have to deal with it also from another point of view...
According to Wien’s displacement law, the wavelength of the peak of a black body radiation is proportional to its temperature according to the formula:
λ T = b
with b = 2.8977721 10−3 [m K]
Then:
Tmax = b / λmin
λmin = λp = 1.616199 10−35 [m]
Tmax = 2.8977721 10−3 / 1.616199 10−35 = 1,7929539 1032 [K]
Which is not exact to the previous value but it’s quite close to it (the same order of magnitude)...
Now formulating the Wien law as a function of the frequency:
fmax = α kB T / h ≈ (5.879 1010 [Hz/K]) • T
with α ≈ 2.821439
Then: T = h fmax / α kB
And as we have seen, fmax = 1,8549 10+43 [Hz]
Then Tmax = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (2.821439 x 1.3806488 10−23) = 3,1554985 1032 [K]
Again a close result.
Probably I have made many mistakes in the application of the formulas in my calculations, but looking for information that could support this deduction I discovered that this order of magnitude coincided with the Planck temperature (actually Tp is calculated as Tp=mpc2/kB= (ħc5/GkB2)1/2 =1.416834 × 1032 K) , which is considered as the temperature of the universe during the first moment (the first unit of Planck time) of the Big Bang.
My initial reasoning is that as the temperature of a body increases, the frequency of the radiation it emits also increases, and therefore its wavelength decreases at the same rate. And there must be a moment where the wavelength is so small that it approaches the length of Planck, which, as we have seen in other posts, is considered the minimum length where the laws of classical physics aren’t valid anymore. On the other hand, the temperature is defined as the kinetic energy of the particles in a body. Then there must be a temperature at which particles are reaching close to light speed in a vacuum and relativity effects have to be considered.
So, do we crunch some numbers?
According to the kinetic theory of gases:
kB T = m <v> 2/3
With KB = 1.3806488 10−23 [J/K], Boltzmann constant, <v> root mean square speed of a gas molecules y m the gas mass.
Then, for a máximum temperature Tmax, the speed approaches c = 299792458 [m/s], the speed of light in a vacuum.
Tmax = m c2 / 3 KB
But as I do not know what mass to take, I will happily do the energy equivalency: m c2 = h fmax
With h = 6.62606876 10-34 [J s], the Planck constant and fmax the maximum frequency I told before. Now we are going to calculate that frequency. If we make the wavelength equal to the Planck length, we have:
λ = λp = 1.616199 10−35 [m],
then: fmax = c/λp = 299792458/1.616199 10−35 = 1,8549 10+43 [Hz]
So:
Tmax = h fmax / 3 KB = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (3 x 1.3806488 10−23) = 2,96737 1032 [K]
And what would m be?:
m = h fmax / c2 = 1,36752 10-7 [Kg], that curiously is 2 Π mPlanck. I guess if I had taken the normalized Planck's constant, I would have had the exact result.
But as my friend Tonino wisely asked me when I told him about this topic, why a gas? Well, I'll have to deal with it also from another point of view...
According to Wien’s displacement law, the wavelength of the peak of a black body radiation is proportional to its temperature according to the formula:
λ T = b
with b = 2.8977721 10−3 [m K]
Then:
Tmax = b / λmin
λmin = λp = 1.616199 10−35 [m]
Tmax = 2.8977721 10−3 / 1.616199 10−35 = 1,7929539 1032 [K]
Which is not exact to the previous value but it’s quite close to it (the same order of magnitude)...
Now formulating the Wien law as a function of the frequency:
fmax = α kB T / h ≈ (5.879 1010 [Hz/K]) • T
with α ≈ 2.821439
Then: T = h fmax / α kB
And as we have seen, fmax = 1,8549 10+43 [Hz]
Then Tmax = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (2.821439 x 1.3806488 10−23) = 3,1554985 1032 [K]
Again a close result.
Probably I have made many mistakes in the application of the formulas in my calculations, but looking for information that could support this deduction I discovered that this order of magnitude coincided with the Planck temperature (actually Tp is calculated as Tp=mpc2/kB= (ħc5/GkB2)1/2 =1.416834 × 1032 K) , which is considered as the temperature of the universe during the first moment (the first unit of Planck time) of the Big Bang.
