Hace tiempo sometí mis ideas sobre el Universo a la persona que me sirve de víctima escuchando mis desvaríos antes de decidirme a publicar algo. Prestando aparentemente atención me dijo: “Ahora lo que tendrías que hacer es ponerlo en forma de ecuaciones”. He de confesar que al principio me dejó chafado, pero con el tiempo me dije que podría darle una vuelta al tema. Tras bastante tiempo meditando fueron apareciendo poco a poco algunos flashes de cómo podría enfocar el problema y al final me lancé a emborronar algo sencillo pero que puede expresar mis ideas de forma matemática. También debo admitir que en el transcurso del desarrollo de las ecuaciones mi visualización previa del tema ha cambiado levemente, aunque todo lo dicho en otras entradas anteriores no ha variado nada.
No es mi costumbre pero explicaré de forma algo tediosa, paso a paso, algunas de las deducciones de las ecuaciones que voy a escribir sobre todo para aquellos que se asustan fácilmente con las matemáticas y para aquellos que, como yo, tengan muchos de estos conceptos bastante olvidados y se encuentren algo oxidados. Mi razón para hacerlo así es que hubiera sido demasiado fácil buscar las ecuaciones en cualquier sitio y de ahí buscar sus implicaciones. Pero yo preferí hacer la deducción de manera casera-chapucera, con lo que me he divertido mucho más y a fin de cuentas mi confianza en mis propias habilidades ha crecido y me puede ayudar a tener una visión más clara de lo que al final pretendo deducir.
Sin más preámbulos, vamos a empezar.
La manera más simple de definir un espacio-tiempo cerrado en tiempo y espacio sería una hiperesfera en cuatro dimensiones en la que el tiempo sería una de esas cuatro dimensiones y las otras tres serían las dimensiones espaciales. Hasta donde yo he investigado (la verdad, no mucho) no he encontrado publicadas ecuaciones sencillas de este tipo, así que las deduciremos de forma sencilla.
Partiremos de la ecuación de una esfera e introduciremos una dimensión extra:
• Esfera 3D:
Ecuación implícita:
x2 + y2 + z2 = R2
Paramétrica:
x = R cos θ cos φ
y = R cos θ sen φ
z = R sen θ
• Hiperesfera 4D:
Ecuación implícita:
x2 + y2 + z2 + w2 = R2
Paramétrica:
x = R cos θ cos φ cos δ
y = R cos θ cos φ sen δ
z = R cos θ sen φ
w = R sen θ
Como ya expresé en alguna entrada anterior, mi idea de la coordenada temporal es la que propuso Minkowski en la interpretación de la geometría de 4 dimensiones para la Relatividad especial, definiendo las coordenadas de la forma (x,y,z,ict), siendo i la parte imaginaria de los números complejos y c la velocidad de la luz en el vacío.
Para no repetirme tediosamente en una etapa posterior, dejaré como ejercicio para quien esté interesado, la interpretación de las variables que podrían representar el tiempo en esta expresión.
Sin embargo este modelo tiene un gran defecto, la curvatura global de este modelo es positiva y parece ser que el Universo en el que estamos tiene una curvatura plana.
Una de las ideas que goza de bastante popularidad (aunque no he visto ecuaciones sencillas) es que la geometría del Universo podría ser un hipertoro 4D (curvatura plana).
Para verlo partiremos de la ecuación de un toro 3D.
Ecuaciones paramétricas:
x = (R + r cos φ) cos θ
y = (R + r cos φ) sen θ
z = r sen φ
Ecuación implícita:
(R - sqrt(x2 + y2))2 + z2 = r2
Si extrapolamos con una dimensión adicional tendremos un hipertoro 4D:
Ecuaciones paramétricas:
x = (R + r cos φ) cos θ cos δ
y = (R + r cos φ) cos θ sen δ
z = (R + r cos φ) sen θ
w = r sen φ
Ecuación implícita:
(R - sqrt(x2 + y2 + z2))2 + w2 = r2
Tanto en la hiperesfera 4D como en este hipertoro 4D aparece un nuevo ángulo δ que no somos capaces de visualizar en nuestra mente tridimensional pero de momento no nos vamos a preocupar por la visualización.
Lo tentador sería que la cuarta dimensión sea w= ict para introducir un tiempo “a la Minkowski”.
Entonces:
ict = r sen φ
r cos φ = sqrt ( r2 – (ict)2) = sqrt (r2 + (ct)2)
Tenemos pues:
x = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) cos θ cos δ
y = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) cos θ sen δ
z = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) sen θ
w = ict
Tiene buena pinta, con tres dimensiones reales (puramente espaciales) y una compleja (temporal).
Deducimos la ecuación implícita:
x2 + y2 = (R + sqrt (r2 + (ct)2))2 cos2 θ
x2 + y2 + z2 = (R + sqrt (r2 + (ct)2))2
w2 = -(ct)2
Entonces: x2 + y2 + z2 = (R + sqrt (r2 - w2))2
Que es lo mismo que: (R - sqrt(x2 + y2 + z2))2 + w2 = r2, la ecuación que teníamos antes de un hipertoro 4D.
Pero no me satisface porque la encuentro demasiado euclidiana y no añade gran cosa a lo que ya teníamos porque el tiempo sigue siendo abierto, cuando he defendido la idea sobre un tiempo cerrado.
Para explicar un universo donde el tiempo sea cerrado podemos hacer que una de las variables angulares sea la que defina el tiempo. Así podríamos hacer que θ = ict o que δ = ict, pero introduciría tres dimensiones con componentes temporales y una espacial, lo que complicaría las cosas. Creo que la mejor solución es parecida a la que acabamos de deducir, pero en lugar de considerar ict = r sen φ, hacemos directamente ict = φ.
Así, tendríamos en definitiva:
x = (R + r cos ict) cos θ cos δ
y = (R + r cos ict) cos θ sen δ
z = (R + r cos ict) sen θ
w = r sen ict
Podría parecer que estamos en un callejón sin salida, con cuatro componentes imaginarias. Pero no me voy a rendir tan pronto y vamos a manipular las ecuaciones para ver si podemos encontrar una salida satisfactoria.
Si recordamos la fórmula de Euler:
eiα = cos α + i sen α
De donde podemos expresar las funciones trigonométricas como:
cos α = (eiα + e-iα) / 2
sen α = = (eiα - e-iα) / (2 i)
Recordamos también las funciones hiperbólicas:
cosh α = (eα + e-α) / 2
senh α = (eα - e-α) / 2
Entonces, como i2 = -1 y además - i = 1 / i:
cos ict = (ei(ict) + e-i(ict)) / 2 = (e-ct + ect) / 2 = cosh ct
sen ict = (ei(ict) - e-i(ict)) / (2i) = (e-ct - ect) / (2i) = - (senh ct) / i = i senh ct
Por lo que tenemos finalmente:
x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ
y = (R + r cosh ct) cos θ sen δ
z = (R + r cosh ct) sen θ
w = i r senh ct
Donde vemos que tenemos tres dimensiones puramente espaciales (aunque dependan de t, solo tiene componentes reales) y una de tipo temporal (componente imaginaria).
Ahora veremos si hemos hecho bien los cálculos y la ecuación sigue correspondiendo a un hipertoro 4D:
x2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ cos2 δ
y2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ sen2 δ
z2 = (R + r cosh ct)2 sen2 θ
w2 = - r2 senh2 ct
x2 + y2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ
x2 + y2 + z2= (R + r cosh ct)2
r cosh2 ct = r (1 + senh2 ct) = r2 – w2
cosh ct = sqrt (r2-w2)
x2 + y2 + z2 = (R + sqrt(r2 - w2))2
Y así es.
Actualización 2016-01-06:
He cometido un error por no pensar las cosas despacio antes de escribir. Ya lo decía el proverbio turco: “Mide mil veces pero corta solo una vez”.
Cuando escribí: “podríamos hacer que θ = ict o que δ = ict, pero introduciría tres dimensiones con componentes temporales y una espacial, lo que complicaría las cosas”, no me di cuenta que la misma manipulación que hice con el ángulo φ para conseguir una sola dimensión imaginaria y tres reales se puede hacer de idéntica manera con cualquiera de las variables angulares con el mismo resultado, aunque tendría distintas interpretaciones físicas.
Por tanto, sin entrar en detalles innecesarios en el desarrollo, tendríamos dos sistemas de ecuaciones paramétricas alternativas a la que hemos visto antes:
1) Para θ = ict:
x = (R + r cos φ) cosh ct cos δ
y = (R + r cos φ) cosh ct sen δ
z = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ
2) Para δ = ict:
x = (R + r cos φ) cos θ cosh ct
y = i (R + r cos φ) cos θ senh ct
z = (R + r cos φ) sen θ
w = r sen φ
Las diferentes interpretaciones físicas se analizarán en otra entrada.
Some time ago I explained my ideas about the Universe to the person who plays as a victim to me, listening to my rants before I decide to post something. Apparently paying attention he said: "What you should do now is to put it in the form of equations". I have to confess that at first it left me wordless, but over time I told myself I could give it a try. After quite some time mulling over it, some flashes were gradually appearing about how I could approach the problem and at the end I began to sketch something simple that can express my ideas mathematically. I must also admit that, in the course of the development of the equations, my view of the issue has changed slightly, but all that was told in previous posts has not changed in any way.
It is not my habit but I'll explain in some tedious way, step by step, some of the deductions of the equations that I'm going to write, essentially for those who are easily frightened with maths and for those who, like me, have many of these concepts quite forgotten and are somewhat rusty. My reason for doing so is that it would have been too easy to find equations on any site and hence find their implications. But I chose to make the deduction in a home-made sloppy way, with which I have had much more fun and ultimately my confidence in my own abilities has grown and it can help me to have a clearer vision of what I ultimately intend to deduce.
Without further ado, let's start.
The simplest way to define a space-time closed in time and space would be a hypersphere in four dimensions in which time would be one of those four dimensions and the other three would be the spatial dimensions. To where I have researched (not much, to say the truth) I haven’t found published such simple equations, so we will deduct them easily.
We will start from the equation of a sphere and introduce an extra dimension:
• 3D Sphere:
Implicit equation:
x2 + y2 + z2 = R2
Parametric form:
x = R cos θ cos φ
y = R cos θ sin φ
z = R sin θ
• 4D Hypersphere:
Implicit equation:
x2 + y2 + z2 + w2 = R2
Parametric form:
x = R cos θ cos φ cos δ
y = R cos θ cos φ sin δ
z = R cos θ sin φ
w = R sin θ
As I already wrote in a previous post, my idea of the time coordinate is what Minkowski proposed in the interpretation of the 4-dimensional geometry for Special Relativity, defining the coordinates in the form (x, y, z, ict), being i the imaginary unit in complex numbers and c the speed of light in a vacuum.
In order not to repeat myself tediously at a later stage, I'll leave as an exercise for those who are interested, the interpretation of the variables that could represent time in this expression.
However, there is a great weakness. In this model the global curvature is positive and it seems that the Universe in which we live is flat.
One of the ideas that is quite popular (although I haven’t seen simple equations) is that the geometry of the Universe could be a 4D hypertorus (flat curvature).
To view it we can start from a 3D torus equation.
Parametric equations:
x = (R + r cos φ) cos θ
y = (R + r cos φ) sin θ
z = r sin φ
Implicit equation: (R - sqrt(x2 + y2))2 + z2 = r2
If we extrapolate with an additional dimension, we have a 4D hypertorus:
Parametric equations:
x = (R + r cos φ) cos θ cos δ
y = (R + r cos φ) cos θ sin δ
z = (R + r cos φ) sin θ
w = r sin φ
Implicit equation:
(R - sqrt(x2 + y2 + z2))2 + w2 = r2
In both equations, 4D hypertorus and 4D hypersphere, there’s a new angle δ, that we are not able to visualize in our three-dimensional mind but for the moment we will not worry about its display.
We could be easily tempted to let the fourth dimension w = ict to introduce a time in a "Minkowski way".
Then:
ict = r sin φ
r cos φ = sqrt ( r2 – (ict)2) = sqrt (r2 + (ct)2)
So:
x = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) cos θ cos δ
y = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) cos θ sin δ
z = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) sin θ
w = ict
It looks good, with three real dimensions (purely spatial) and a complex one (temporary).
Now we deduce the implicit equation to see if everything works:
x2 + y2 = (R + sqrt (r2 + (ct)2))2 cos2 θ
x2 + y2 + z2 = (R + sqrt (r2 + (ct)2))2
w2 = -(ct)2
Then: x2 + y2 + z2 = (R + sqrt (r2 - w2))2
That is the same as: (R - sqrt(x2 + y2 + z2))2 + w2 = r2, the equation seen before.
But I am not satisfied with it because I find it too Euclidean and it doesn’t add much to what we had because time remains open, when I have defended the idea of a closed time.
To explain a universe where time is closed, we can let one of the angular variables as time. So we could make that θ = ict or δ = ict, but it would introduce three dimensions with time components and one spatial, which would complicate things. I think the best solution is similar to that just inferred, but rather than ict = r sin φ, we let directly ict = φ.
Thus, we would have definitely:
x = (R + r cos ict) cos θ cos δ
y = (R + r cos ict) cos θ sin δ
z = (R + r cos ict) sin θ
w = r sin ict
It may seem that we are in a dead-end street, with four imaginary components. But I'm not going to give in so soon and we are going to manipulate the equations to see if we can find a satisfactory outcome.
Remembering Euler’s formula:
eiα = cos α + i sin α
From where we can express the trigonometric functions as:
cos α = (eiα + e-iα) / 2
sin α = = (eiα - e-iα) / (2 i)
We have to remember hyperbolic functions as well:
cosh α = (eα + e-α) / 2
sinh α = (eα - e-α) / 2
Then, as i2 = -1 and also - i = 1 / i:
cos ict = (ei(ict) + e-i(ict)) / 2 = (e-ct + ect) / 2 = cosh ct
sin ict = (ei(ict) - e-i(ict)) / (2i) = (e-ct - ect) / (2i) = - (sinh ct) / i = i sinh ct
Thus, we finally have:
x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ
y = (R + r cosh ct) cos θ sin δ
z = (R + r cosh ct) sin θ
w = i r sinh ct
Where we see that we have three purely spatial dimensions (although they depend on t, they only have real components) and a temporary type (imaginary component).
Now we’ll see if all the calculi have been well done and the equation is still one of a 4D hypertorus:
x2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ cos2 δ
y2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ sin2 δ
z2 = (R + r cosh ct)2 sin2 θ
w2 = - r2 sinh2 ct
x2 + y2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ
x2 + y2 + z2= (R + r cosh ct)2
r cosh2 ct = r (1 + sinh2 ct) = r2 – w2
cosh ct = sqrt (r2-w2)
x2 + y2 + z2 = (R + sqrt(r2 - w2))2
And it is.
Update 2016-01-06:
I have made a mistake not pondering before writing. As the Turkish proverb says: "Measure a thousand times but cut only once".
When I wrote: " we could make θ = ict or δ = ict, but it would introduce three dimensions with time components and one spatial, which would complicate things" I didn't realize that the same manipulation I did with the angle φ to obtain only one imaginary dimension and three real ones can be made the same way with any angle variables with the same outcome, but it would have different physical interpretations.
Therefore, without going into unnecessary detail in the development, we would have two alternative sets of parametric equations to those we have seen before:
1) For θ = ict:
x = (R + r cos φ) cosh ct cos δ
y = (R + r cos φ) cosh ct sin δ
z = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ
2) For δ = ict:
x = (R + r cos φ) cos θ cosh ct
y = i (R + r cos φ) cos θ sinh ct
z = (R + r cos φ) sin θ
w = r sin φ
The different physical interpretations will be analyzed in a further post.
