Aunque la respuesta a esta pregunta se puede encontrar en muchos lugares, yo la desconocía (como tantísimas y tantísimas otras cosas), pero devanándome los sesos deduje que, al igual que existe un cero absoluto de temperatura, tenía que existir también un límite por arriba y me propuse averiguar a mi estilo cuál sería este límite. Lo extraño del tema es que en algún lugar había leído que en teoría no tenía por qué haber una temperatura máxima, aunque no recuerdo donde.
Mi línea de razonamiento inicial es que a medida que la temperatura de un cuerpo aumenta, la frecuencia de la radiación que emite también aumenta, y por consiguiente la longitud de onda disminuye en la misma proporción. Y tiene que llegar un momento en el que la longitud de onda sea tan pequeña que se acerque a la longitud de Planck, que, como ya hemos visto en otras entradas, se considera la longitud mínima donde las leyes de la física clásica dejan de tener validez. Por otro lado, la temperatura se define como la energía cinética media de las partículas en un cuerpo. Entonces tiene que haber una temperatura a la cual las partículas vayan alcanzando velocidades cercanas a las de la luz y los efectos de la relatividad empiecen a ser considerables.
Así pues, ¿echamos unos numeritos?
Según la teoría cinética de los gases:
kB T = m <v> 2/3
Siendo KB = 1.3806488 10−23 [J/K], la constante de Boltzmann, <v> la velocidad media de las moléculas de gas y m la masa del gas considerado.
Entonces para una temperatura máxima Tmax, la velocidad se aproximaría a c = 299792458 [m/s], velocidad de la luz en el vacío.
Tmax = m c2 / 3 KB
Pero como no sé qué masa poner, haré alegremente la equivalencia energética: m c2 = h fmax
Siendo h = 6.62606876 10-34 [J s], la constante de Planck y fmax la frecuencia máxima a la que aludí antes. Vamos a calcular esa frecuencia. Si hacemos que la longitud de onda sea la de Planck, tenemos:
λ = λp = 1.616199 10−35 [m],
tenemos: fmax = c/λp = 299792458/1.616199 10−35 = 1,8549 10+43 [Hz]
Con lo que:
Tmax = h fmax / 3 KB = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (3 x 1.3806488 10−23) = 2,96737 1032 [K]
Y ¿cuál sería m?:
m = h fmax / c2 = 1,36752 10-7 [Kg], que curiosamente es 2 Π mPlanck. Supongo que si hubiera cogido la constante de Planck normalizada, tendría el resultado exacto.
Pero como mi amigo Tonino cuerdamente me preguntó cuando le hable de este tema, ¿Y por qué un gas? Bueno, tendré que abordarlo también desde otro punto de vista…
Según la ley de Wien la longitud de onda del pico de radiación en un cuerpo negro es proporcional a su temperatura de acuerdo con la fórmula:
λ T = b
Siendo b = 2.8977721 10−3 [m K]
Entonces:
Tmax = b / λmin
λmin = λp = 1.616199 10−35 [m]
Tmax = 2.8977721 10−3 / 1.616199 10−35 = 1,7929539 1032 [K]
que no es exacto al valor anterior pero muy cercano (mismo orden de magnitud)…
Formulando ahora la ley de Wien en función de la frecuencia:
fmax = α kB T / h ≈ (5.879 1010 [Hz/K]) • T
con α ≈ 2.821439
De donde: T = h fmax / α kB
Y si, como hemos visto, fmax = 1,8549 10+43 [Hz]
Entonces Tmax = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (2.821439 x 1.3806488 10−23) = 3,1554985 1032 [K]
Que vuelve a ser un valor muy aproximado.
Probablemente haya cometido muchas incorrecciones en la aplicación de las fórmulas en mis cálculos, pero al ir buscando información que respaldara esta deducción descubrí que este orden de magnitud coincidía con la temperatura de Planck (realmente Tp se calcula a través de la fórmula Tp=mpc2/kB= (ħc5/GkB2)1/2 =1.416834 × 1032 K) , y que se considera que podría ser la temperatura del Universo durante el primer instante (la primera unidad del tiempo de Planck) del Big Bang.
Mi línea de razonamiento inicial es que a medida que la temperatura de un cuerpo aumenta, la frecuencia de la radiación que emite también aumenta, y por consiguiente la longitud de onda disminuye en la misma proporción. Y tiene que llegar un momento en el que la longitud de onda sea tan pequeña que se acerque a la longitud de Planck, que, como ya hemos visto en otras entradas, se considera la longitud mínima donde las leyes de la física clásica dejan de tener validez. Por otro lado, la temperatura se define como la energía cinética media de las partículas en un cuerpo. Entonces tiene que haber una temperatura a la cual las partículas vayan alcanzando velocidades cercanas a las de la luz y los efectos de la relatividad empiecen a ser considerables.
Así pues, ¿echamos unos numeritos?
Según la teoría cinética de los gases:
kB T = m <v> 2/3
Siendo KB = 1.3806488 10−23 [J/K], la constante de Boltzmann, <v> la velocidad media de las moléculas de gas y m la masa del gas considerado.
Entonces para una temperatura máxima Tmax, la velocidad se aproximaría a c = 299792458 [m/s], velocidad de la luz en el vacío.
Tmax = m c2 / 3 KB
Pero como no sé qué masa poner, haré alegremente la equivalencia energética: m c2 = h fmax
Siendo h = 6.62606876 10-34 [J s], la constante de Planck y fmax la frecuencia máxima a la que aludí antes. Vamos a calcular esa frecuencia. Si hacemos que la longitud de onda sea la de Planck, tenemos:
λ = λp = 1.616199 10−35 [m],
tenemos: fmax = c/λp = 299792458/1.616199 10−35 = 1,8549 10+43 [Hz]
Con lo que:
Tmax = h fmax / 3 KB = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (3 x 1.3806488 10−23) = 2,96737 1032 [K]
Y ¿cuál sería m?:
m = h fmax / c2 = 1,36752 10-7 [Kg], que curiosamente es 2 Π mPlanck. Supongo que si hubiera cogido la constante de Planck normalizada, tendría el resultado exacto.
Pero como mi amigo Tonino cuerdamente me preguntó cuando le hable de este tema, ¿Y por qué un gas? Bueno, tendré que abordarlo también desde otro punto de vista…
Según la ley de Wien la longitud de onda del pico de radiación en un cuerpo negro es proporcional a su temperatura de acuerdo con la fórmula:
λ T = b
Siendo b = 2.8977721 10−3 [m K]
Entonces:
Tmax = b / λmin
λmin = λp = 1.616199 10−35 [m]
Tmax = 2.8977721 10−3 / 1.616199 10−35 = 1,7929539 1032 [K]
que no es exacto al valor anterior pero muy cercano (mismo orden de magnitud)…
Formulando ahora la ley de Wien en función de la frecuencia:
fmax = α kB T / h ≈ (5.879 1010 [Hz/K]) • T
con α ≈ 2.821439
De donde: T = h fmax / α kB
Y si, como hemos visto, fmax = 1,8549 10+43 [Hz]
Entonces Tmax = 6.62606876 10-34 x 1,8549 10+43 / (2.821439 x 1.3806488 10−23) = 3,1554985 1032 [K]
Que vuelve a ser un valor muy aproximado.
Probablemente haya cometido muchas incorrecciones en la aplicación de las fórmulas en mis cálculos, pero al ir buscando información que respaldara esta deducción descubrí que este orden de magnitud coincidía con la temperatura de Planck (realmente Tp se calcula a través de la fórmula Tp=mpc2/kB= (ħc5/GkB2)1/2 =1.416834 × 1032 K) , y que se considera que podría ser la temperatura del Universo durante el primer instante (la primera unidad del tiempo de Planck) del Big Bang.
