Hace tiempo sometí mis ideas sobre el Universo a la persona que me sirve de víctima escuchando mis desvaríos antes de decidirme a publicar algo. Prestando aparentemente atención me dijo: “Ahora lo que tendrías que hacer es ponerlo en forma de ecuaciones”. He de confesar que al principio me dejó chafado, pero con el tiempo me dije que podría darle una vuelta al tema. Tras bastante tiempo meditando fueron apareciendo poco a poco algunos flashes de cómo podría enfocar el problema y al final me lancé a emborronar algo sencillo pero que puede expresar mis ideas de forma matemática. También debo admitir que en el transcurso del desarrollo de las ecuaciones mi visualización previa del tema ha cambiado levemente, aunque todo lo dicho en otras entradas anteriores no ha variado nada.
No es mi costumbre pero explicaré de forma algo tediosa, paso a paso, algunas de las deducciones de las ecuaciones que voy a escribir sobre todo para aquellos que se asustan fácilmente con las matemáticas y para aquellos que, como yo, tengan muchos de estos conceptos bastante olvidados y se encuentren algo oxidados. Mi razón para hacerlo así es que hubiera sido demasiado fácil buscar las ecuaciones en cualquier sitio y de ahí buscar sus implicaciones. Pero yo preferí hacer la deducción de manera casera-chapucera, con lo que me he divertido mucho más y a fin de cuentas mi confianza en mis propias habilidades ha crecido y me puede ayudar a tener una visión más clara de lo que al final pretendo deducir.
Sin más preámbulos, vamos a empezar.
La manera más simple de definir un espacio-tiempo cerrado en tiempo y espacio sería una hiperesfera en cuatro dimensiones en la que el tiempo sería una de esas cuatro dimensiones y las otras tres serían las dimensiones espaciales. Hasta donde yo he investigado (la verdad, no mucho) no he encontrado publicadas ecuaciones sencillas de este tipo, así que las deduciremos de forma sencilla.
Partiremos de la ecuación de una esfera e introduciremos una dimensión extra:
• Esfera 3D:
Ecuación implícita:
x2 + y2 + z2 = R2
Paramétrica:
x = R cos θ cos φ
y = R cos θ sen φ
z = R sen θ
• Hiperesfera 4D:
Ecuación implícita:
x2 + y2 + z2 + w2 = R2
Paramétrica:
x = R cos θ cos φ cos δ
y = R cos θ cos φ sen δ
z = R cos θ sen φ
w = R sen θ
Como ya expresé en alguna entrada anterior, mi idea de la coordenada temporal es la que propuso Minkowski en la interpretación de la geometría de 4 dimensiones para la Relatividad especial, definiendo las coordenadas de la forma (x,y,z,ict), siendo i la parte imaginaria de los números complejos y c la velocidad de la luz en el vacío.
Para no repetirme tediosamente en una etapa posterior, dejaré como ejercicio para quien esté interesado, la interpretación de las variables que podrían representar el tiempo en esta expresión.
Sin embargo este modelo tiene un gran defecto, la curvatura global de este modelo es positiva y parece ser que el Universo en el que estamos tiene una curvatura plana.
Una de las ideas que goza de bastante popularidad (aunque no he visto ecuaciones sencillas) es que la geometría del Universo podría ser un hipertoro 4D (curvatura plana).
Para verlo partiremos de la ecuación de un toro 3D.
Ecuaciones paramétricas:
x = (R + r cos φ) cos θ
y = (R + r cos φ) sen θ
z = r sen φ
Ecuación implícita:
(R - sqrt(x2 + y2))2 + z2 = r2
Si extrapolamos con una dimensión adicional tendremos un hipertoro 4D:
Ecuaciones paramétricas:
x = (R + r cos φ) cos θ cos δ
y = (R + r cos φ) cos θ sen δ
z = (R + r cos φ) sen θ
w = r sen φ
Ecuación implícita:
(R - sqrt(x2 + y2 + z2))2 + w2 = r2
Tanto en la hiperesfera 4D como en este hipertoro 4D aparece un nuevo ángulo δ que no somos capaces de visualizar en nuestra mente tridimensional pero de momento no nos vamos a preocupar por la visualización.
Lo tentador sería que la cuarta dimensión sea w= ict para introducir un tiempo “a la Minkowski”.
Entonces:
ict = r sen φ
r cos φ = sqrt ( r2 – (ict)2) = sqrt (r2 + (ct)2)
Tenemos pues:
x = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) cos θ cos δ
y = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) cos θ sen δ
z = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) sen θ
w = ict
Tiene buena pinta, con tres dimensiones reales (puramente espaciales) y una compleja (temporal).
Deducimos la ecuación implícita:
x2 + y2 = (R + sqrt (r2 + (ct)2))2 cos2 θ
x2 + y2 + z2 = (R + sqrt (r2 + (ct)2))2
w2 = -(ct)2
Entonces: x2 + y2 + z2 = (R + sqrt (r2 - w2))2
Que es lo mismo que: (R - sqrt(x2 + y2 + z2))2 + w2 = r2, la ecuación que teníamos antes de un hipertoro 4D.
Pero no me satisface porque la encuentro demasiado euclidiana y no añade gran cosa a lo que ya teníamos porque el tiempo sigue siendo abierto, cuando he defendido la idea sobre un tiempo cerrado.
Para explicar un universo donde el tiempo sea cerrado podemos hacer que una de las variables angulares sea la que defina el tiempo. Así podríamos hacer que θ = ict o que δ = ict, pero introduciría tres dimensiones con componentes temporales y una espacial, lo que complicaría las cosas. Creo que la mejor solución es parecida a la que acabamos de deducir, pero en lugar de considerar ict = r sen φ, hacemos directamente ict = φ.
Así, tendríamos en definitiva:
x = (R + r cos ict) cos θ cos δ
y = (R + r cos ict) cos θ sen δ
z = (R + r cos ict) sen θ
w = r sen ict
Podría parecer que estamos en un callejón sin salida, con cuatro componentes imaginarias. Pero no me voy a rendir tan pronto y vamos a manipular las ecuaciones para ver si podemos encontrar una salida satisfactoria.
Si recordamos la fórmula de Euler:
eiα = cos α + i sen α
De donde podemos expresar las funciones trigonométricas como:
cos α = (eiα + e-iα) / 2
sen α = = (eiα - e-iα) / (2 i)
Recordamos también las funciones hiperbólicas:
cosh α = (eα + e-α) / 2
senh α = (eα - e-α) / 2
Entonces, como i2 = -1 y además - i = 1 / i:
cos ict = (ei(ict) + e-i(ict)) / 2 = (e-ct + ect) / 2 = cosh ct
sen ict = (ei(ict) - e-i(ict)) / (2i) = (e-ct - ect) / (2i) = - (senh ct) / i = i senh ct
Por lo que tenemos finalmente:
x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ
y = (R + r cosh ct) cos θ sen δ
z = (R + r cosh ct) sen θ
w = i r senh ct
Donde vemos que tenemos tres dimensiones puramente espaciales (aunque dependan de t, solo tiene componentes reales) y una de tipo temporal (componente imaginaria).
Ahora veremos si hemos hecho bien los cálculos y la ecuación sigue correspondiendo a un hipertoro 4D:
x2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ cos2 δ
y2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ sen2 δ
z2 = (R + r cosh ct)2 sen2 θ
w2 = - r2 senh2 ct
x2 + y2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ
x2 + y2 + z2= (R + r cosh ct)2
r cosh2 ct = r (1 + senh2 ct) = r2 – w2
cosh ct = sqrt (r2-w2)
x2 + y2 + z2 = (R + sqrt(r2 - w2))2
Y así es.
Actualización 2016-01-06:
He cometido un error por no pensar las cosas despacio antes de escribir. Ya lo decía el proverbio turco: “Mide mil veces pero corta solo una vez”.
Cuando escribí: “podríamos hacer que θ = ict o que δ = ict, pero introduciría tres dimensiones con componentes temporales y una espacial, lo que complicaría las cosas”, no me di cuenta que la misma manipulación que hice con el ángulo φ para conseguir una sola dimensión imaginaria y tres reales se puede hacer de idéntica manera con cualquiera de las variables angulares con el mismo resultado, aunque tendría distintas interpretaciones físicas.
Por tanto, sin entrar en detalles innecesarios en el desarrollo, tendríamos dos sistemas de ecuaciones paramétricas alternativas a la que hemos visto antes:
1) Para θ = ict:
x = (R + r cos φ) cosh ct cos δ
y = (R + r cos φ) cosh ct sen δ
z = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ
2) Para δ = ict:
x = (R + r cos φ) cos θ cosh ct
y = i (R + r cos φ) cos θ senh ct
z = (R + r cos φ) sen θ
w = r sen φ
Las diferentes interpretaciones físicas se analizarán en otra entrada.
No es mi costumbre pero explicaré de forma algo tediosa, paso a paso, algunas de las deducciones de las ecuaciones que voy a escribir sobre todo para aquellos que se asustan fácilmente con las matemáticas y para aquellos que, como yo, tengan muchos de estos conceptos bastante olvidados y se encuentren algo oxidados. Mi razón para hacerlo así es que hubiera sido demasiado fácil buscar las ecuaciones en cualquier sitio y de ahí buscar sus implicaciones. Pero yo preferí hacer la deducción de manera casera-chapucera, con lo que me he divertido mucho más y a fin de cuentas mi confianza en mis propias habilidades ha crecido y me puede ayudar a tener una visión más clara de lo que al final pretendo deducir.
Sin más preámbulos, vamos a empezar.
La manera más simple de definir un espacio-tiempo cerrado en tiempo y espacio sería una hiperesfera en cuatro dimensiones en la que el tiempo sería una de esas cuatro dimensiones y las otras tres serían las dimensiones espaciales. Hasta donde yo he investigado (la verdad, no mucho) no he encontrado publicadas ecuaciones sencillas de este tipo, así que las deduciremos de forma sencilla.
Partiremos de la ecuación de una esfera e introduciremos una dimensión extra:
• Esfera 3D:
Ecuación implícita:
x2 + y2 + z2 = R2
Paramétrica:
x = R cos θ cos φ
y = R cos θ sen φ
z = R sen θ
• Hiperesfera 4D:
Ecuación implícita:
x2 + y2 + z2 + w2 = R2
Paramétrica:
x = R cos θ cos φ cos δ
y = R cos θ cos φ sen δ
z = R cos θ sen φ
w = R sen θ
Como ya expresé en alguna entrada anterior, mi idea de la coordenada temporal es la que propuso Minkowski en la interpretación de la geometría de 4 dimensiones para la Relatividad especial, definiendo las coordenadas de la forma (x,y,z,ict), siendo i la parte imaginaria de los números complejos y c la velocidad de la luz en el vacío.
Para no repetirme tediosamente en una etapa posterior, dejaré como ejercicio para quien esté interesado, la interpretación de las variables que podrían representar el tiempo en esta expresión.
Sin embargo este modelo tiene un gran defecto, la curvatura global de este modelo es positiva y parece ser que el Universo en el que estamos tiene una curvatura plana.
Una de las ideas que goza de bastante popularidad (aunque no he visto ecuaciones sencillas) es que la geometría del Universo podría ser un hipertoro 4D (curvatura plana).
Para verlo partiremos de la ecuación de un toro 3D.
Ecuaciones paramétricas:
x = (R + r cos φ) cos θ
y = (R + r cos φ) sen θ
z = r sen φ
Ecuación implícita:
(R - sqrt(x2 + y2))2 + z2 = r2
Si extrapolamos con una dimensión adicional tendremos un hipertoro 4D:
Ecuaciones paramétricas:
x = (R + r cos φ) cos θ cos δ
y = (R + r cos φ) cos θ sen δ
z = (R + r cos φ) sen θ
w = r sen φ
Ecuación implícita:
(R - sqrt(x2 + y2 + z2))2 + w2 = r2
Tanto en la hiperesfera 4D como en este hipertoro 4D aparece un nuevo ángulo δ que no somos capaces de visualizar en nuestra mente tridimensional pero de momento no nos vamos a preocupar por la visualización.
Lo tentador sería que la cuarta dimensión sea w= ict para introducir un tiempo “a la Minkowski”.
Entonces:
ict = r sen φ
r cos φ = sqrt ( r2 – (ict)2) = sqrt (r2 + (ct)2)
Tenemos pues:
x = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) cos θ cos δ
y = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) cos θ sen δ
z = (R + sqrt (r2 + (ct)2)) sen θ
w = ict
Tiene buena pinta, con tres dimensiones reales (puramente espaciales) y una compleja (temporal).
Deducimos la ecuación implícita:
x2 + y2 = (R + sqrt (r2 + (ct)2))2 cos2 θ
x2 + y2 + z2 = (R + sqrt (r2 + (ct)2))2
w2 = -(ct)2
Entonces: x2 + y2 + z2 = (R + sqrt (r2 - w2))2
Que es lo mismo que: (R - sqrt(x2 + y2 + z2))2 + w2 = r2, la ecuación que teníamos antes de un hipertoro 4D.
Pero no me satisface porque la encuentro demasiado euclidiana y no añade gran cosa a lo que ya teníamos porque el tiempo sigue siendo abierto, cuando he defendido la idea sobre un tiempo cerrado.
Para explicar un universo donde el tiempo sea cerrado podemos hacer que una de las variables angulares sea la que defina el tiempo. Así podríamos hacer que θ = ict o que δ = ict, pero introduciría tres dimensiones con componentes temporales y una espacial, lo que complicaría las cosas. Creo que la mejor solución es parecida a la que acabamos de deducir, pero en lugar de considerar ict = r sen φ, hacemos directamente ict = φ.
Así, tendríamos en definitiva:
x = (R + r cos ict) cos θ cos δ
y = (R + r cos ict) cos θ sen δ
z = (R + r cos ict) sen θ
w = r sen ict
Podría parecer que estamos en un callejón sin salida, con cuatro componentes imaginarias. Pero no me voy a rendir tan pronto y vamos a manipular las ecuaciones para ver si podemos encontrar una salida satisfactoria.
Si recordamos la fórmula de Euler:
eiα = cos α + i sen α
De donde podemos expresar las funciones trigonométricas como:
cos α = (eiα + e-iα) / 2
sen α = = (eiα - e-iα) / (2 i)
Recordamos también las funciones hiperbólicas:
cosh α = (eα + e-α) / 2
senh α = (eα - e-α) / 2
Entonces, como i2 = -1 y además - i = 1 / i:
cos ict = (ei(ict) + e-i(ict)) / 2 = (e-ct + ect) / 2 = cosh ct
sen ict = (ei(ict) - e-i(ict)) / (2i) = (e-ct - ect) / (2i) = - (senh ct) / i = i senh ct
Por lo que tenemos finalmente:
x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ
y = (R + r cosh ct) cos θ sen δ
z = (R + r cosh ct) sen θ
w = i r senh ct
Donde vemos que tenemos tres dimensiones puramente espaciales (aunque dependan de t, solo tiene componentes reales) y una de tipo temporal (componente imaginaria).
Ahora veremos si hemos hecho bien los cálculos y la ecuación sigue correspondiendo a un hipertoro 4D:
x2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ cos2 δ
y2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ sen2 δ
z2 = (R + r cosh ct)2 sen2 θ
w2 = - r2 senh2 ct
x2 + y2 = (R + r cosh ct)2 cos2 θ
x2 + y2 + z2= (R + r cosh ct)2
r cosh2 ct = r (1 + senh2 ct) = r2 – w2
cosh ct = sqrt (r2-w2)
x2 + y2 + z2 = (R + sqrt(r2 - w2))2
Y así es.
Actualización 2016-01-06:
He cometido un error por no pensar las cosas despacio antes de escribir. Ya lo decía el proverbio turco: “Mide mil veces pero corta solo una vez”.
Cuando escribí: “podríamos hacer que θ = ict o que δ = ict, pero introduciría tres dimensiones con componentes temporales y una espacial, lo que complicaría las cosas”, no me di cuenta que la misma manipulación que hice con el ángulo φ para conseguir una sola dimensión imaginaria y tres reales se puede hacer de idéntica manera con cualquiera de las variables angulares con el mismo resultado, aunque tendría distintas interpretaciones físicas.
Por tanto, sin entrar en detalles innecesarios en el desarrollo, tendríamos dos sistemas de ecuaciones paramétricas alternativas a la que hemos visto antes:
1) Para θ = ict:
x = (R + r cos φ) cosh ct cos δ
y = (R + r cos φ) cosh ct sen δ
z = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ
2) Para δ = ict:
x = (R + r cos φ) cos θ cosh ct
y = i (R + r cos φ) cos θ senh ct
z = (R + r cos φ) sen θ
w = r sen φ
Las diferentes interpretaciones físicas se analizarán en otra entrada.
