Al Límite To the limit

 

Una de las cosas que hacen que la relatividad general (RG) y la mecánica cuántica (MC) estén en desacuerdo es la manera de ver el tiempo que tienen cada una de las dos teorías. Con el descaro que me caracteriza, voy a utilizar las diferentes formas que tienen cada una de ellas para intentar encontrar un nexo entre ellas y, de paso, aprovecharlo para meter mi visión de la cosmología como consecuencia de esta unión.

Comenzando por la MC, hay una interpretación que da la electrodinámica cuántica que es muy curiosa. Según esta teoría, la antimateria se puede considerar como materia que “viaja” hacia atrás en el tiempo. Por otro lado, según la visión de la RG, se puede considerar que la luz solo se desplaza a tiempo constante. Con todos estos datos podemos dividir el estado de una partícula en su línea de universo según se desplace en el tiempo. Si se desplaza en tiempos crecientes es materia, si lo hace en tiempos decrecientes es antimateria y si su tiempo es constante, tenemos luz.

Ahora consideremos un modelo como el que se ha propuesto en las anteriores entradas en las que el universo se curva en su dimensión temporal hasta cerrarse. No nos importan ahora los detalles concretos sobre la geometría de las componentes espaciales del modelo, solamente que de alguna forma el tiempo se curva hasta cerrarse. Para facilitar entonces la comprensión de la idea, supongamos que el tiempo describe una curva en forma de circunferencia. Para cada instante temporal, podemos encontrar que existe un instante, futuro o pasado en el que el tiempo nos parece que viaja en sentido contario en su camino hasta cerrarse. Desde este punto de vista, lo que encontramos, por así decirlo al otro lado del tiempo, es un universo compuesto mayoritariamente de antimateria. También existen dos momentos particulares en los que parece que las partículas que componen el universo se desplazan perpendicularmente. En estos instantes podemos identificarlas como que todo se compone de luz.

Para hacerlo más fácil lo mostraremos con un dibujo.

One of the things that quantum mechanics (QM) and general relativity (GR) disagree is the way each theory see time. Boldly as usual, I'm going to use the different ways each of them do, to try to find a link between them and, incidentally, take advantage of it to show my vision of cosmology as a result of this union.

Starting with QM, there is an interpretation given by quantum electrodynamics which is very curious. According to this theory, antimatter can be considered as conventional matter "traveling" back in time. On the other hand, according to the GR vision, one can consider that light only moves at a constant time. With all this data we can divide the state of a particle in its line of universe according to how it moves in time. If it moves through growing times it is matter, doing so in declining times is antimatter and if its time is constant, we have light.

Now let’s consider a model such as that proposed in previous posts in which the universe is curved in its time dimension to get closed. It doesn’t matter to us now the concrete details about the geometry of the spatial components of the model, only that somehow the time curves until it gets closed. To make the idea easier to understand, let’s suppose that time describes a circumference. For each instant, we can find a moment, past or future, in which time seems to be travelling opposite to us on its way to closing. From this point of view, what we find, so to speak, on the other side of time, is a universe composed mostly of antimatter. There are two particular moments in which it seems that the particles that compose the universe move at right angles. At those moments we can identify them as if everything were made up of light.

To make it easier to see, I’ll show it with a drawing:

La línea verde con flechas representa el tiempo. Como se puede ver, en un instante determinado, nos vemos en el punto en el que se ha señalado como MAT, en el que el universo está compuesto mayoritariamente de materia, en el punto diametralmente opuesto (MAT) compuesto de antimateria y dos instantes situados a 90 grados, donde los percibimos como luz (LP luz del pasado y LF luz del futuro).

Pero lo que considero más interesante es que toda esta visión es solo un espejismo. La realidad es que en todos los momentos individuales tenemos la misma visión. Solo es una cuestión de perspectiva. Siempre, estemos en el momento que estemos, consideramos lo que nos rodea como constituido por materia ordinaria, y los otros puntos determinados como antimateria o como luz.

Quiero destacar que en el gráfico anterior he representado los instantes particulares del espacio como esferas indicando que también el espacio se curvaría sobre sí mismo hasta cerrarse. Por supuesto, en este gráfico también tenemos que considerar que el espacio estaría representado solo por la superficie de las esferas, habiendo tenido que prescindir de una dimensión para poder visualizarlo tridimensionalmente.

También quiero llamar la atención sobre la luz que aparentemente vendría del pasado. Hay que recordar que cuanto más lejos miramos en el espacio, vemos más atrás en el tiempo. De esta forma, podemos encontrar una distancia a la que nos parezca que el universo está compuesto de luz, en este caso, la representada en el gráfico con la esfera LP.

Intencionadamente la he representado de un color rojizo y hago una suposición por la que la luz del futuro tendría una coloración desviada hacia el azul. Claro, que este extremo es de momento imposible de asegurar dado que no somos capaces de ver hacia el futuro, o sea, hacia delante en la línea temporal. No quiero de momento hacer conjeturas sobre la causa de estas derivas en frecuencia de la luz recibida, pero podría estar relacionada, como expliqué en alguna entrada anterior, con la propia deformación de la luz debida a la propia curvatura del tiempo.

The green line with arrows represents the time. As you can see, at a given moment, we are at the point marked as MAT, in which the universe is composed mostly of matter, on the opposite point (MAT) composed of antimatter and two instants located at 90 degrees , where we perceive them as light (LP light from the past and LF light from the future).

But what I consider more interesting is that all this vision is only a mirage. The reality is that we have the same view in every single moment. It is only a matter of perspective. Always, no matter the moment we are in, we consider what surrounds us as composed of ordinary matter, and the other points as antimatter or light.

I would like to point out that, in the picture above, I have represented every space graphs as spheres, indicating that the space would also warp over itself until getting closed. Of course, in this graph we also have to consider that the space would be represented only by the surface of the spheres, in the need to suppress a dimension to be able to view it in 3D.

I also want to draw your attention to the light which apparently would come from the past. We must remember that the further we look into space, the further we see back in time. In this way, we can find a distance that seems to us as if the universe is composed of light, in this case represented in the graph with the LP sphere. I have intentionally represented it in a reddish color and I’ll make an assumption that the light from the future would have a blue-shifted coloration. Of course, this end is currently impossible to know since we are not able to see into the future, or forward on the timeline.

I don't want to speculate at the moment on the cause of these shifts in frequency of the incoming light, but it could be related, as I explained in a previous post, with the light distortion due to the extreme warping of time.

Pongamos un poco de orden Let’s put some order

Después de un largo parón he decidido que tengo que salir de un bloqueo de lo más tonto. Todo empezó con una idea sugerente que debía madurar antes de publicarla. Luego, una cosa me llevó a otra y surgieron otras ideas interesantes, pero que ponían algo en dificultad la idea primitiva. ¿El resultado? Pues que no resolví el primer tema y me quedé atascado en el segundo. Típico en mí. Así que he considerado que la mejor manera es volver a comenzar desde un principio y poner un poco de orden en ciertas ideas inconexas que no han quedado explicadas a mi gusto.

Así que empezaré con un análisis de cosas que se han quedado cojeando e intentaré corregir algo los conceptos que se necesitan para desarrollar las nuevas ideas que seguirán a continuación. Pero calma, como siempre, iremos poco a poco.

En la entrada Ecuaciones para un universo, en la que calculaba unas posibles ecuaciones para la geometría espacio-temporal del universo, creo que me quedé corto. Lo empecé a ver claro cuando intenté explicarlo gráficamente en la entrada ¿Problemas de visualización? Para ello empleé un diagrama de inmersión en el que se reducían las dimensiones para ser capaces de visualizar tridimensionalmente un modelo del universo donde se pudiera apreciar la dimensión de carácter temporal. Pero no me di cuenta al desarrollar las ecuaciones que cuando representé un universo que se curva espacialmente hasta cerrarse, tiene que hacerlo dentro de una dimensión adicional. Por eso, al dibujar el toro que representaba mi modelo, en cada instante de tiempo todo el espacio está representado por una circunferencia. Y eso significa que en ese instante todo el espacio está representado por una curva monodimensional curvada en una dimensión superior. También, aunque ya contaba con que en un diagrama de inmersión se perdía alguna de las dimensiones, en realidad estaba perdiendo dos. Por ello las ecuaciones del hipertoro de cuatro dimensiones no son suficientes para representar el universo, sino que necesitamos cinco dimensiones. Podemos proceder como hemos hecho hasta ahora, dando una vuelta más de tuerca:

x = (R + r cos φ) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cos φ) cos θ cos δ sen ζ
z = (R + r cos φ) cos θ sen δ
w= (R + r cos φ) sen θ
v = r sen φ

Si volvemos a hacer φ = ict

x = (R + r cos ict) cos θ cos δ cos ζ
 y = (R + r cos ict) cos θ cos δ sen ζ
 z = (R + r cos ict) cos θ sen δ
w= (R + r cos ict) sen θ
v = r sen ict

y recordamos que en la entrada anterior dedujimos que:

cos ict =  cosh ct
sen ict =  i senh ct

Por lo que definitivamente tenemos:

x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cosh ct) cos θ cos δ sen ζ
z = (R + r cosh ct) cos θ sen δ
w= (R + r cosh ct) sen θ
v = i r senh ct

No considero que se gane mucha comprensión sobre la física de este modelo, pero al menos, creo que las ecuaciones son más correctas que en el modelo anterior.

Pero realmente no era esto lo que más me preocupa, sino una interpretación más física que matemática. Pero eso lo dejaré para la siguiente entrada.
 

After a long break I have decided that I must get free from a silly mental block. It all started with a suggestive idea that I had to mature before publishing it. Then one thing led to another and other interesting ideas emerged, but that complicated somehow the primitive idea. The result? Well, I didn’t solve the first issue, and I was stuck in the second. Typical in me. So I have considered that the best way is to start from the beginning and put some order into some unconnected ideas that I don’t feel happy how they were explained.

So I will begin with an analysis of things that are quite lame and I will try to correct some concepts that are needed to develop new ideas that will then follow. But keep calm, as always, we’ll go step by step.

In the post Equations for a universe, in which a possible set of equations for the space-time geometry of the universe was deduced, I think that I fell short. I realized about it when I tried to explain it graphically in the post Visualizing problems? For that purpose I used an embedding diagram in which the dimensions were reduced to be able to visualize the time dimension in a three-dimensional graph. But when the equations were deduced I didn't realize that the model represented a universe spatially closed and, to do so, it should have needed an additional dimension. So, in the torus representing my model, for every single moment of time, all the space is inside a circumference. That means that for every moment the entire space is represented in a monodimensional curve inside two dimensions space. Therefore although I had considered that in an embedding diagram a dimension can be lost, I was actually losing two. And so the 4D hipertorus equations are not sufficient to represent the universe, but we need five dimensions. We can proceed as we did until now, going one step forward:

x = (R + r cos φ) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cos φ) cos θ cos δ sin ζ
z = (R + r cos φ) cos θ sin δ
w= (R + r cos φ) sin θ
v = r sin φ

And again, if we let φ = ict

x = (R + r cos ict) cos θ cos δ cos ζ
 y = (R + r cos ict) cos θ cos δ sin ζ
 z = (R + r cos ict) cos θ sin δ
w= (R + r cos ict) sin θ
v = r sin ict

And remembering from the previous post, we deduced:

cos ict =  cosh ct
sin ict =  i sinh ct

So, we finally have:

x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cosh ct) cos θ cos δ sin ζ
z = (R + r cosh ct) cos θ sin δ
w= (R + r cosh ct) sin θ
v = i r sinh ct

I don’t think that much understanding of the physics of this model is achieved, but at least, I think that the equations are more correct than in the previous model.

However this wasn't really what concerned me most, but a more physical than mathematical interpretation. But I will leave that for the next post.
 

¿Problemas de visualización? Visualization problems?

Tal vez me he pasado un poco en la entrada Ecuaciones para un universo con una ración muy cruda de matemáticas y sin ninguna figurita para ayudar a digerirla. Podría argumentar que no son matemáticas muy complicadas, pero la verdad es que se me pasó por completo. No pasa nada, porque ahora, al intentar dar una pequeña interpretación física, me basaré en la figura que abre esta entrada para ver las consecuencias de las ecuaciones y poder visualizar un poco mejor los conceptos que he descrito.

Para empezar, creo que, sin imágenes, lo que puede ser más difícil de visualizar en las ecuaciones finales es el uso de las funciones hiperbólicas, pero esto no debe acobardar nuestra mente euclidiana (aunque haya quien se crea que por comprender bien otras geometrías no euclidianas es capaz de visualizarlo sin problemas), porque como hemos visto en la demostración, las ecuaciones paramétricas se combinaban en la ecuación implícita de un hipertoro 4D. No importa cómo sea la forma aparente de las componentes paramétricas. Lo importante es la combinación de todas las componentes. De todas formas recordaré que podemos escribir cualquier conjunto de posibles ecuaciones paramétricas que representen una misma función implícita, la cual sí que es única. La elección de este conjunto particular que he escrito es debido a que se puede desarrollar matemáticamente para llegar a resultados interesantes y luego interpretarlo físicamente de una forma algo más intuitiva.

Sea como sea, el problema de visualización es independiente de las ecuaciones que escribamos, ya que nuestra incapacidad viene de que no podemos ver cuatro o más dimensiones sin acudir a los trucos habituales. Y, claro, el truco más usado es el de los diagramas de inmersión, donde acudimos a un modelo con menos dimensiones, explicamos los conceptos que se intentan mostrar y luego decimos que es lo mismo, pero con una dimensión más.

En la figura del inicio ya estamos aplicando la inmersión con la supresión de la variable δ.

Así que, en el caso que tenemos entre manos, podemos reescribir las ecuaciones con una dimensión menos y ver a dónde nos llevan. En estos casos no tenemos que preocuparnos por la visualización porque tendremos el toro 3D que aparece en la figura, sólo que con una de las dimensiones en el eje imaginario de los números complejos. Y en este sentido, aunque parezca que me repito demasiado, vuelvo a recordar el concepto de tiempo como una componente imaginaria en nuestro espacio-tiempo de cuatro dimensiones (o más, pero no vamos a liar más el tema por ahora).

Otra cosa importante que debemos tener en cuenta es que es la superficie y no el volumen lo que tiene un significado físico de geometría del universo.

Modelo 1 (φ=ict):

x = (R + r cosh ct) cos θ
y = (R + r cosh ct) sen θ
z = i r senh ct

En la figura de la entrada, el ángulo que hemos llamado φ representaría la dimensión temporal. Digamos que en la evolución de este esquema vemos que tanto la geometría espacial como la temporal no son estáticas, sino que cambian según transcurre el tiempo y todas ellas se van curvando (el tiempo también) hasta que acaban cerrándose.

Hay un caso particularmente interesante que es aquel en el que R = r, donde vemos que para t = 0 el espacio está comprimido en un solo punto, algo vagamente parecido a un modelo tipo Big Bang, seguido de un Big Crunch.

Además podemos ver una expansión al principio (en el primer cuadrante) aparentemente acelerada.

Modelo 2 (θ=ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
z = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ

Lo que vemos aquí es que la geometría puramente espacial permanece invariable y es el tiempo el único que se cierra. Parece un modelo bastante más aburrido que el primero, aunque al principio era el que más me atraía. Quiero resaltar que aunque cada sección circular del modelo representa el espacio en un determinado instante, el espacio sigue siendo cerrado, ya que en tales secciones lo que consideramos no es una superficie circular sino la circunferencia. Así, como expliqué en entradas anteriores, si avanzamos en cualquier dirección espacial podremos aparecer por el otro lado.

Podría parecer que este modelo no es válido porque no predice ninguna expansión como en el Big Bang, pero como ya expliqué en anteriores entradas, no hay que tener excesivas prisas en descartarlo porque las observaciones cosmológicas podrían ser explicadas de forma distinta de la convencional.

Sin embargo, en el proceso de deducción de las ecuaciones, este modelo perdió fuerza para mí porque, aunque en un instante dado (en una rodaja del donut) las componentes espaciales parecen ser bastante homogéneas, tengo la impresión de que debería haber efectos medibles de la curvatura temporal sobre la luz ya que dicha curvatura no sería igual en toda la geometría del toroide (la curvatura temporal en el interior del toro es más acusada que en el lado de fuera) y creo que este efecto debería ser detectable en la radiación cósmica de fondo.

Modelo 3 (δ = ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
y = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ

No tiene mucho sentido poner otra figura, porque las ecuaciones y su interpretación física son iguales que en el Modelo 2. Digamos que se puede considerar el mismo modelo pero “girado” 90 grados.

Como se puede observar, en cada modelo de inmersión he prescindido de componentes diferentes, pero aunque en 2 y 3 aparece la extraña w, a la hora de analizar un modelo de tres dimensiones no importa cómo se llama cada una de las componentes.

La objeción más importante que se puede hacer a estos modelos es cómo pueden encajar las observaciones cosmológicas en estos esquemas, tales como la radiación cósmica de fondo, el desplazamiento al rojo de las líneas espectrales y otras pruebas en favor de los modelos de mayor aceptación por los que saben. Creo que algunas posibles salidas más o menos afortunadas (he de reconocer que menos) están bosquejadas en las entradas anteriores, especialmente en Principios(3). Tal vez más delante daré una descripción más detallada sobre este tema.

In the post Equations for a universe I may have gone too far with a very raw mathematics dose and without any picture to help digest it. I could argument that the implied maths aren’t very complicated, but to say the truth I unintentionally skipped it completely. It doesn’t matter, because now, trying to give it a small physical interpretation, I’ll try to explain it using this post’s opening picture to see the consequences of the equations and to be able to visualize a little better the concepts I have described.

To begin, I believe that the most difficult thing to visualize in the final equations is the use of hyperbolic functions, but this should not intimidate our Euclidean mind (although there are people who believe they can visualize without problem non Euclidean geometries by understanding them well), because as we have seen in the demonstration, the parametric equations are combined in the implicit equation of a 4D hypertorus. The apparent shape of the parametric components doesn’t matter. The important thing is the combination of all the components. Anyway, I'll remember that we can write any set of possible parametric equations representing the same implicit function, which is unique. The choice of this particular set I have written is because they can be mathematically developed to arrive to interesting results and then interpret them physically in a more intuitive way.

Whatever it is, the visualization problem is independent of the equations we write, since our inability comes from the fact that we cannot see four or more dimensions without resorting to the usual tricks. And of course, the most widely used trick is the use of immersion diagrams, where we study a model with less dimensions, we explain the concepts we are trying to show and then we say that it is the same, but with more dimensions.

In the opening picture we are already applied immersion with the elimination of the variable δ.

So, in the case we are considering, we can rewrite the equations with one dimension less and see where it takes us. In these cases you don't have to worry about the visualization because we will have the 3D torus displayed in the figure, but with one of the dimensions in the imaginary axis of the complex numbers. And in this sense, although it seems that I repeat too much, I remember again the concept of time as an imaginary component in our four-dimensional space-time (or more than four, but I don’t want to mess with this topic for now).

Another thing we have to consider is that the Surface and not the volume is what has a physical meaning concerning the universe geometry.

Model 1 (φ=ict):

x = (R + r cosh ct) cos θ
y = (R + r cosh ct) sin θ
z = i r sinh ct

In the initial picture the angle called φ would represent the time dimension. As we can see in this model the space and time dimensions aren’t static, but they change and all of them are curving (time as well) until they finally close.

There is a particularly interesting case in which R = r, where we see that for t = 0 space is compressed into a single point, something vaguely resembling a Big Bang model, followed by a Big Crunch.

We can also see a seemingly accelerated expansion at the beginning (in the first quadrant).

Model 2 (θ=ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
z = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ

We can also see a apparently accelerated expansion at the beginning (in the first quadrant).

This model might seem not valid because it does not predict any expansion as seen in the conventional Big Bang model, but, as I already explained in previous posts, we should not discard it so quickly because cosmological observations could be explained in other ways different from the conventional ones.

However, in the equations deduction process, this model lost force for me because even if at a given moment (in a slice of the doughnut) the spatial components seem to be fairly homogeneous, I have the impression that the physical effects of time light-bending would not be the same everywhere along the torus (the temporal curvature on the inside is more accentuated than in the outside) and I think that this effect should be detectable in the form of variations in the cosmic radiation background.

Model 3 (δ = ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
y = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ

Another picture here doesn't make much sense, because the equations and their physical interpretation are the same than in model 2. Let's say that the same model can be considered but "rotated" 90 degrees.

As you can see, in each immersion model I've disregarded different components, but although the weird w appears in 2 and 3, when analyzing a three-dimensional model it doesn’t matter how each of the components is called.

The most important objection that can be made to these models is how to account for the cosmological observations in these schemes, such as the cosmic background, spectral lines redshift and other evidence for the models of greater acceptance for those who know. I think that some possible alternative solutions, more or less fortunate (less, I must admit), are sketched in the previous posts, especially in Principles(3). Perhaps I will later give a more detailed description about this topic.