Tal vez me he pasado un poco en la entrada Ecuaciones para un universo con una ración muy cruda de matemáticas y sin ninguna figurita para ayudar a digerirla. Podría argumentar que no son matemáticas muy complicadas, pero la verdad es que se me pasó por completo. No pasa nada, porque ahora, al intentar dar una pequeña interpretación física, me basaré en la figura que abre esta entrada para ver las consecuencias de las ecuaciones y poder visualizar un poco mejor los conceptos que he descrito.
Para empezar, creo que, sin imágenes, lo que puede ser más difícil de visualizar en las ecuaciones finales es el uso de las funciones hiperbólicas, pero esto no debe acobardar nuestra mente euclidiana (aunque haya quien se crea que por comprender bien otras geometrías no euclidianas es capaz de visualizarlo sin problemas), porque como hemos visto en la demostración, las ecuaciones paramétricas se combinaban en la ecuación implícita de un hipertoro 4D. No importa cómo sea la forma aparente de las componentes paramétricas. Lo importante es la combinación de todas las componentes. De todas formas recordaré que podemos escribir cualquier conjunto de posibles ecuaciones paramétricas que representen una misma función implícita, la cual sí que es única. La elección de este conjunto particular que he escrito es debido a que se puede desarrollar matemáticamente para llegar a resultados interesantes y luego interpretarlo físicamente de una forma algo más intuitiva.
Sea como sea, el problema de visualización es independiente de las ecuaciones que escribamos, ya que nuestra incapacidad viene de que no podemos ver cuatro o más dimensiones sin acudir a los trucos habituales. Y, claro, el truco más usado es el de los diagramas de inmersión, donde acudimos a un modelo con menos dimensiones, explicamos los conceptos que se intentan mostrar y luego decimos que es lo mismo, pero con una dimensión más.
En la figura del inicio ya estamos aplicando la inmersión con la supresión de la variable δ.
Así que, en el caso que tenemos entre manos, podemos reescribir las ecuaciones con una dimensión menos y ver a dónde nos llevan. En estos casos no tenemos que preocuparnos por la visualización porque tendremos el toro 3D que aparece en la figura, sólo que con una de las dimensiones en el eje imaginario de los números complejos. Y en este sentido, aunque parezca que me repito demasiado, vuelvo a recordar el concepto de tiempo como una componente imaginaria en nuestro espacio-tiempo de cuatro dimensiones (o más, pero no vamos a liar más el tema por ahora).
Otra cosa importante que debemos tener en cuenta es que es la superficie y no el volumen lo que tiene un significado físico de geometría del universo.
x = (R + r cosh ct) cos θ
y = (R + r cosh ct) sen θ
z = i r senh ct
En la figura de la entrada, el ángulo que hemos llamado φ representaría la dimensión temporal. Digamos que en la evolución de este esquema vemos que tanto la geometría espacial como la temporal no son estáticas, sino que cambian según transcurre el tiempo y todas ellas se van curvando (el tiempo también) hasta que acaban cerrándose.
Hay un caso particularmente interesante que es aquel en el que R = r, donde vemos que para t = 0 el espacio está comprimido en un solo punto, algo vagamente parecido a un modelo tipo Big Bang, seguido de un Big Crunch.
Además podemos ver una expansión al principio (en el primer cuadrante) aparentemente acelerada.
x = (R + r cos φ) cosh ct
z = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ
Lo que vemos aquí es que la geometría puramente espacial permanece invariable y es el tiempo el único que se cierra. Parece un modelo bastante más aburrido que el primero, aunque al principio era el que más me atraía. Quiero resaltar que aunque cada sección circular del modelo representa el espacio en un determinado instante, el espacio sigue siendo cerrado, ya que en tales secciones lo que consideramos no es una superficie circular sino la circunferencia. Así, como expliqué en entradas anteriores, si avanzamos en cualquier dirección espacial podremos aparecer por el otro lado.
Podría parecer que este modelo no es válido porque no predice ninguna expansión como en el Big Bang, pero como ya expliqué en anteriores entradas, no hay que tener excesivas prisas en descartarlo porque las observaciones cosmológicas podrían ser explicadas de forma distinta de la convencional.
Sin embargo, en el proceso de deducción de las ecuaciones, este modelo perdió fuerza para mí porque, aunque en un instante dado (en una rodaja del donut) las componentes espaciales parecen ser bastante homogéneas, tengo la impresión de que debería haber efectos medibles de la curvatura temporal sobre la luz ya que dicha curvatura no sería igual en toda la geometría del toroide (la curvatura temporal en el interior del toro es más acusada que en el lado de fuera) y creo que este efecto debería ser detectable en la radiación cósmica de fondo.
Modelo 3 (δ = ict):
x = (R + r cos φ) cosh ct
y = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ
No tiene mucho sentido poner otra figura, porque las ecuaciones y su interpretación física son iguales que en el Modelo 2. Digamos que se puede considerar el mismo modelo pero “girado” 90 grados.
Como se puede observar, en cada modelo de inmersión he prescindido de componentes diferentes, pero aunque en 2 y 3 aparece la extraña w, a la hora de analizar un modelo de tres dimensiones no importa cómo se llama cada una de las componentes.
La objeción más importante que se puede hacer a estos modelos es cómo pueden encajar las observaciones cosmológicas en estos esquemas, tales como la radiación cósmica de fondo, el desplazamiento al rojo de las líneas espectrales y otras pruebas en favor de los modelos de mayor aceptación por los que saben. Creo que algunas posibles salidas más o menos afortunadas (he de reconocer que menos) están bosquejadas en las entradas anteriores, especialmente en Principios(3). Tal vez más delante daré una descripción más detallada sobre este tema.
In the post Equations for a universe I may have gone too far with a very raw mathematics dose and without any picture to help digest it. I could argument that the implied maths aren’t very complicated, but to say the truth I unintentionally skipped it completely. It doesn’t matter, because now, trying to give it a small physical interpretation, I’ll try to explain it using this post’s opening picture to see the consequences of the equations and to be able to visualize a little better the concepts I have described.
To begin, I believe that the most difficult thing to visualize in the final equations is the use of hyperbolic functions, but this should not intimidate our Euclidean mind (although there are people who believe they can visualize without problem non Euclidean geometries by understanding them well), because as we have seen in the demonstration, the parametric equations are combined in the implicit equation of a 4D hypertorus. The apparent shape of the parametric components doesn’t matter. The important thing is the combination of all the components. Anyway, I'll remember that we can write any set of possible parametric equations representing the same implicit function, which is unique. The choice of this particular set I have written is because they can be mathematically developed to arrive to interesting results and then interpret them physically in a more intuitive way.
Whatever it is, the visualization problem is independent of the equations we write, since our inability comes from the fact that we cannot see four or more dimensions without resorting to the usual tricks. And of course, the most widely used trick is the use of immersion diagrams, where we study a model with less dimensions, we explain the concepts we are trying to show and then we say that it is the same, but with more dimensions.
In the opening picture we are already applied immersion with the elimination of the variable δ.
So, in the case we are considering, we can rewrite the equations with one dimension less and see where it takes us. In these cases you don't have to worry about the visualization because we will have the 3D torus displayed in the figure, but with one of the dimensions in the imaginary axis of the complex numbers. And in this sense, although it seems that I repeat too much, I remember again the concept of time as an imaginary component in our four-dimensional space-time (or more than four, but I don’t want to mess with this topic for now).
Another thing we have to consider is that the Surface and not the volume is what has a physical meaning concerning the universe geometry.
x = (R + r cosh ct) cos θ
y = (R + r cosh ct) sin θ
z = i r sinh ct
In the initial picture the angle called φ would represent the time dimension. As we can see in this model the space and time dimensions aren’t static, but they change and all of them are curving (time as well) until they finally close.
There is a particularly interesting case in which R = r, where we see that for t = 0 space is compressed into a single point, something vaguely resembling a Big Bang model, followed by a Big Crunch.
We can also see a seemingly accelerated expansion at the beginning (in the first quadrant).
x = (R + r cos φ) cosh ct
z = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ
We can also see a apparently accelerated expansion at the beginning (in the first quadrant).
This model might seem not valid because it does not predict any expansion as seen in the conventional Big Bang model, but, as I already explained in previous posts, we should not discard it so quickly because cosmological observations could be explained in other ways different from the conventional ones.
However, in the equations deduction process, this model lost force for me because even if at a given moment (in a slice of the doughnut) the spatial components seem to be fairly homogeneous, I have the impression that the physical effects of time light-bending would not be the same everywhere along the torus (the temporal curvature on the inside is more accentuated than in the outside) and I think that this effect should be detectable in the form of variations in the cosmic radiation background.
Model 3 (δ = ict):
x = (R + r cos φ) cosh ct
y = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ
Another picture here doesn't make much sense, because the equations and their physical interpretation are the same than in model 2. Let's say that the same model can be considered but "rotated" 90 degrees.
As you can see, in each immersion model I've disregarded different components, but although the weird w appears in 2 and 3, when analyzing a three-dimensional model it doesn’t matter how each of the components is called.
The most important objection that can be made to these models is how to account for the cosmological observations in these schemes, such as the cosmic background, spectral lines redshift and other evidence for the models of greater acceptance for those who know. I think that some possible alternative solutions, more or less fortunate (less, I must admit), are sketched in the previous posts, especially in Principles(3). Perhaps I will later give a more detailed description about this topic.
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