Pongamos un poco de orden Let’s put some order

Después de un largo parón he decidido que tengo que salir de un bloqueo de lo más tonto. Todo empezó con una idea sugerente que debía madurar antes de publicarla. Luego, una cosa me llevó a otra y surgieron otras ideas interesantes, pero que ponían algo en dificultad la idea primitiva. ¿El resultado? Pues que no resolví el primer tema y me quedé atascado en el segundo. Típico en mí. Así que he considerado que la mejor manera es volver a comenzar desde un principio y poner un poco de orden en ciertas ideas inconexas que no han quedado explicadas a mi gusto.

Así que empezaré con un análisis de cosas que se han quedado cojeando e intentaré corregir algo los conceptos que se necesitan para desarrollar las nuevas ideas que seguirán a continuación. Pero calma, como siempre, iremos poco a poco.

En la entrada Ecuaciones para un universo, en la que calculaba unas posibles ecuaciones para la geometría espacio-temporal del universo, creo que me quedé corto. Lo empecé a ver claro cuando intenté explicarlo gráficamente en la entrada ¿Problemas de visualización? Para ello empleé un diagrama de inmersión en el que se reducían las dimensiones para ser capaces de visualizar tridimensionalmente un modelo del universo donde se pudiera apreciar la dimensión de carácter temporal. Pero no me di cuenta al desarrollar las ecuaciones que cuando representé un universo que se curva espacialmente hasta cerrarse, tiene que hacerlo dentro de una dimensión adicional. Por eso, al dibujar el toro que representaba mi modelo, en cada instante de tiempo todo el espacio está representado por una circunferencia. Y eso significa que en ese instante todo el espacio está representado por una curva monodimensional curvada en una dimensión superior. También, aunque ya contaba con que en un diagrama de inmersión se perdía alguna de las dimensiones, en realidad estaba perdiendo dos. Por ello las ecuaciones del hipertoro de cuatro dimensiones no son suficientes para representar el universo, sino que necesitamos cinco dimensiones. Podemos proceder como hemos hecho hasta ahora, dando una vuelta más de tuerca:

x = (R + r cos φ) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cos φ) cos θ cos δ sen ζ
z = (R + r cos φ) cos θ sen δ
w= (R + r cos φ) sen θ
v = r sen φ

Si volvemos a hacer φ = ict

x = (R + r cos ict) cos θ cos δ cos ζ
 y = (R + r cos ict) cos θ cos δ sen ζ
 z = (R + r cos ict) cos θ sen δ
w= (R + r cos ict) sen θ
v = r sen ict

y recordamos que en la entrada anterior dedujimos que:

cos ict =  cosh ct
sen ict =  i senh ct

Por lo que definitivamente tenemos:

x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cosh ct) cos θ cos δ sen ζ
z = (R + r cosh ct) cos θ sen δ
w= (R + r cosh ct) sen θ
v = i r senh ct

No considero que se gane mucha comprensión sobre la física de este modelo, pero al menos, creo que las ecuaciones son más correctas que en el modelo anterior.

Pero realmente no era esto lo que más me preocupa, sino una interpretación más física que matemática. Pero eso lo dejaré para la siguiente entrada.
 

After a long break I have decided that I must get free from a silly mental block. It all started with a suggestive idea that I had to mature before publishing it. Then one thing led to another and other interesting ideas emerged, but that complicated somehow the primitive idea. The result? Well, I didn’t solve the first issue, and I was stuck in the second. Typical in me. So I have considered that the best way is to start from the beginning and put some order into some unconnected ideas that I don’t feel happy how they were explained.

So I will begin with an analysis of things that are quite lame and I will try to correct some concepts that are needed to develop new ideas that will then follow. But keep calm, as always, we’ll go step by step.

In the post Equations for a universe, in which a possible set of equations for the space-time geometry of the universe was deduced, I think that I fell short. I realized about it when I tried to explain it graphically in the post Visualizing problems? For that purpose I used an embedding diagram in which the dimensions were reduced to be able to visualize the time dimension in a three-dimensional graph. But when the equations were deduced I didn't realize that the model represented a universe spatially closed and, to do so, it should have needed an additional dimension. So, in the torus representing my model, for every single moment of time, all the space is inside a circumference. That means that for every moment the entire space is represented in a monodimensional curve inside two dimensions space. Therefore although I had considered that in an embedding diagram a dimension can be lost, I was actually losing two. And so the 4D hipertorus equations are not sufficient to represent the universe, but we need five dimensions. We can proceed as we did until now, going one step forward:

x = (R + r cos φ) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cos φ) cos θ cos δ sin ζ
z = (R + r cos φ) cos θ sin δ
w= (R + r cos φ) sin θ
v = r sin φ

And again, if we let φ = ict

x = (R + r cos ict) cos θ cos δ cos ζ
 y = (R + r cos ict) cos θ cos δ sin ζ
 z = (R + r cos ict) cos θ sin δ
w= (R + r cos ict) sin θ
v = r sin ict

And remembering from the previous post, we deduced:

cos ict =  cosh ct
sin ict =  i sinh ct

So, we finally have:

x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cosh ct) cos θ cos δ sin ζ
z = (R + r cosh ct) cos θ sin δ
w= (R + r cosh ct) sin θ
v = i r sinh ct

I don’t think that much understanding of the physics of this model is achieved, but at least, I think that the equations are more correct than in the previous model.

However this wasn't really what concerned me most, but a more physical than mathematical interpretation. But I will leave that for the next post.