Lo siento, público sufridor, hoy toca un poco de matemáticas. A quien no le gusten las matemáticas (nunca he entendido por qué) se puede saltar esta entrada porque no voy a llegar realmente a ninguna conclusión. Tampoco va a ser algo muy complicado, lo prometo. Tengo que hacer una introducción un poco larga antes de entrar en materia a fondo, por lo que pido algo de paciencia.
Consideremos la ecuación implícita de una elipse:
Con (x0,y0) como centro de la elipse y a,b como semiejes.
Recordaremos también que la ecuación de una hipérbola es:
Simplificaremos la ecuación de la elipse poniendo el centro en el origen de coordenadas, (x0,y0)=(0,0):
el caso particular que a=b, al que podemos asignar el valor llamado r, o sea a=b=r:
Tenemos una circunferencia centrada en el origen y de radio r. Fácil, ¿no?
El dominio de una función es el intervalo de x en el que la función tiene un valor real. En el caso de nuestra circunferencia el dominio serían los valores entre –r y r, porque si representamos la ecuación en forma explícita tendremos:
Y para los valores fuera de este intervalo lo que hay dentro de la raíz es un valor negativo y por tanto no hay una solución real.
Pero no todo son números reales en matemáticas. Para tratar con estos inconvenientes tenemos los números complejos (que no voy a pararme a explicar). Fuera del dominio de esta función, o sea, para |x|>r tendremos que en el plano complejo continúa nuestra función convirtiéndose en una hipérbola:
con |x|>r (i: variable compleja)
o de forma implícita:
Entremos ahora en una interpretación Física. Hace tiempo, considerando esto, al ver el típico diagrama de inmersión en el que se representa el espacio-tiempo como un tejido elástico deformado por la materia, me recordó la figura que he dibujado y le di vueltas a si podía aplicarse todo esto a la curvatura producida por la materia. Por ejemplo, en el interior de una masa esférica, por ejemplo una estrella o un planeta, la curvatura del espacio tiempo en el interior es diferente a la del exterior. Y yo pensé si podría estar todo reunido en una sola ecuación. Lo que significase que el espacio-tiempo tuviera una componente real y otra imaginaria no llegué a darle sentido físico, pero la idea me resultó atractiva. Para mi desgracia, al leer el libro que mencioné en una entrada anterior, “Un viaje por la gravedad y el espacio-tiempo” de John Wheeler, explicaba que en el exterior de la materia la geometría era parabólica, no hiperbólica como yo había pensado, lo que me volvió a dejar chafado una vez más.
Pero no me resisto a continuar en mis trece y busco como siempre dar una explicación alternativa a las cosas que me disgustan de la Física aceptada y probada. Y, ¿cómo no? Vuelvo a la carga con los agujeros negros.
Consideremos la ecuación implícita de una elipse:
Con (x0,y0) como centro de la elipse y a,b como semiejes.
Recordaremos también que la ecuación de una hipérbola es:
Simplificaremos la ecuación de la elipse poniendo el centro en el origen de coordenadas, (x0,y0)=(0,0):
el caso particular que a=b, al que podemos asignar el valor llamado r, o sea a=b=r:
Tenemos una circunferencia centrada en el origen y de radio r. Fácil, ¿no?
El dominio de una función es el intervalo de x en el que la función tiene un valor real. En el caso de nuestra circunferencia el dominio serían los valores entre –r y r, porque si representamos la ecuación en forma explícita tendremos:
Y para los valores fuera de este intervalo lo que hay dentro de la raíz es un valor negativo y por tanto no hay una solución real.
Pero no todo son números reales en matemáticas. Para tratar con estos inconvenientes tenemos los números complejos (que no voy a pararme a explicar). Fuera del dominio de esta función, o sea, para |x|>r tendremos que en el plano complejo continúa nuestra función convirtiéndose en una hipérbola:
o de forma implícita:
pero en el plano imaginario. Como es de suponer, el dominio de una hipérbola es justamente el contrario al de la circunferencia, o sea que existe en todo
excepto -r<x<r.
Si consideramos la función en un espacio en el que x,y forman un plano real y hacemos un plano imaginario perpendicular x,i, tenemos una función que existe para todos los valores de x. Veámoslo, como siempre, con un dibujito:
Todo esto también es válido para las ecuaciones sin las simplificaciones que hemos considerado, pero ¿quién quiere complicaciones que pueden hacer que nos perdamos?
excepto -r<x<r.
Si consideramos la función en un espacio en el que x,y forman un plano real y hacemos un plano imaginario perpendicular x,i, tenemos una función que existe para todos los valores de x. Veámoslo, como siempre, con un dibujito:
Entremos ahora en una interpretación Física. Hace tiempo, considerando esto, al ver el típico diagrama de inmersión en el que se representa el espacio-tiempo como un tejido elástico deformado por la materia, me recordó la figura que he dibujado y le di vueltas a si podía aplicarse todo esto a la curvatura producida por la materia. Por ejemplo, en el interior de una masa esférica, por ejemplo una estrella o un planeta, la curvatura del espacio tiempo en el interior es diferente a la del exterior. Y yo pensé si podría estar todo reunido en una sola ecuación. Lo que significase que el espacio-tiempo tuviera una componente real y otra imaginaria no llegué a darle sentido físico, pero la idea me resultó atractiva. Para mi desgracia, al leer el libro que mencioné en una entrada anterior, “Un viaje por la gravedad y el espacio-tiempo” de John Wheeler, explicaba que en el exterior de la materia la geometría era parabólica, no hiperbólica como yo había pensado, lo que me volvió a dejar chafado una vez más.
Pero no me resisto a continuar en mis trece y busco como siempre dar una explicación alternativa a las cosas que me disgustan de la Física aceptada y probada. Y, ¿cómo no? Vuelvo a la carga con los agujeros negros.
Sorry, suffering followers, today’s time for some little maths. Those who don’t like mathematics (I’ve never understood why) can skip this post because I won't actually reach any conclusion. It isn’t going to be very complicated, I promise. I have to make a bit long introduction before getting to the point, so I beg some patience.
Let’s consider the implicit equation of an ellipse:
where (x 0, y0) is the center of the ellipse and a, b are the semi-axes lengths.
We will also remember that the equation of a hyperbola is:
Let’s simplify the equation of the ellipse with the center at the origin of coordinates, (x0,y0)=(0,0)
In the particular case a=b, we can assign it a value called r, i.e. a=b=r::
Now we have a circumference in the origin of coordinates and radius r. Easy isn’t it?
The domain of a function is the set of values of x in which the function has a real number value. In the case of our circumference the domain would be the values between - r and r, because if we represent the explicit equation we have:
And for the values outside this range there’s the root of a negative value, and therefore there is no real solution.
But not all numbers are real in mathematics. To deal with these we have complex numbers (which I won't stop to explain). Outside the domain of this function, i.e. for |x| > r we have that in the complex plane our function continues becoming a hyperbola:
with |x|>r (i: complex variable)
Or in implicit form:
Let's go now into a physical interpretation. Long ago, considering this, seeing the typical immersion diagram in which space-time is represented as an elastic fabric distorted by matter, reminded me of the figure that I have drawn and thought whether it could be applied to the curvature produced by matter. For example, in the interior of a spherical mass, e.g. a star or a planet, the curvature of space time inside is different from outside. And I thought if all could be put together in a single equation. What would mean that space-time had a real component, and another imaginary didn't make physical sense, but the idea was attractive to me. Unfortunately, reading the book I mentioned in a previous post, "A Journey Into Gravity and Spacetime" by John Wheeler, he explained that the geometry outside was not hyperbolic as I had thought, but parabolic, and that let me down once again.
But I can’t help going on and on looking, as always, for an alternative explanation to what I dislike of accepted and proven Physics. And of course I come back to deal with black holes.
Let’s consider the implicit equation of an ellipse:
where (x 0, y0) is the center of the ellipse and a, b are the semi-axes lengths.
We will also remember that the equation of a hyperbola is:
Let’s simplify the equation of the ellipse with the center at the origin of coordinates, (x0,y0)=(0,0)
In the particular case a=b, we can assign it a value called r, i.e. a=b=r::
Now we have a circumference in the origin of coordinates and radius r. Easy isn’t it?
The domain of a function is the set of values of x in which the function has a real number value. In the case of our circumference the domain would be the values between - r and r, because if we represent the explicit equation we have:
And for the values outside this range there’s the root of a negative value, and therefore there is no real solution.
But not all numbers are real in mathematics. To deal with these we have complex numbers (which I won't stop to explain). Outside the domain of this function, i.e. for |x| > r we have that in the complex plane our function continues becoming a hyperbola:
Or in implicit form:
but in the imaginary plane. As it is to be expected, the domain of a hyperbola is precisely the complementary of that of the circumference, i.e. it exists for all
except -r<x<r.
If we consider the function in a space in which x,y is a real plane and we do an imaginary plane perpendicular x, i, we have a function that exists for all values of x. Let’s see it, as always, with a little picture:
This is also true for the equations without simplifications that we considered before, but who wants complications that may make us to get lost?
except -r<x<r.
If we consider the function in a space in which x,y is a real plane and we do an imaginary plane perpendicular x, i, we have a function that exists for all values of x. Let’s see it, as always, with a little picture:
Let's go now into a physical interpretation. Long ago, considering this, seeing the typical immersion diagram in which space-time is represented as an elastic fabric distorted by matter, reminded me of the figure that I have drawn and thought whether it could be applied to the curvature produced by matter. For example, in the interior of a spherical mass, e.g. a star or a planet, the curvature of space time inside is different from outside. And I thought if all could be put together in a single equation. What would mean that space-time had a real component, and another imaginary didn't make physical sense, but the idea was attractive to me. Unfortunately, reading the book I mentioned in a previous post, "A Journey Into Gravity and Spacetime" by John Wheeler, he explained that the geometry outside was not hyperbolic as I had thought, but parabolic, and that let me down once again.
But I can’t help going on and on looking, as always, for an alternative explanation to what I dislike of accepted and proven Physics. And of course I come back to deal with black holes.
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