Un poco de mates A bit of Maths

Lo siento, público sufridor, hoy toca un poco de matemáticas. A quien no le gusten las matemáticas (nunca he entendido por qué) se puede saltar esta entrada porque no voy a llegar realmente a ninguna conclusión. Tampoco va a ser algo muy complicado, lo prometo. Tengo que hacer una introducción un poco larga antes de entrar en materia a fondo, por lo que pido algo de paciencia.

Consideremos la ecuación implícita de una elipse:

Con (x0,y0) como centro de la elipse y a,b como semiejes.

Recordaremos también que la ecuación de una hipérbola es:

Simplificaremos la ecuación de la elipse poniendo el centro en el origen de coordenadas, (x0,y0)=(0,0): 

el caso particular que a=b, al que podemos asignar el valor llamado r, o sea a=b=r: 

Tenemos una circunferencia centrada en el origen y de radio r. Fácil, ¿no?

El dominio de una función es el intervalo de x en el que la función tiene un valor real. En el caso de nuestra circunferencia el dominio serían los valores entre –r y r, porque si representamos la ecuación en forma explícita tendremos:

Y para los valores fuera de este intervalo lo que hay dentro de la raíz es un valor negativo y por tanto no hay una solución real.

Pero no todo son números reales en matemáticas. Para tratar con estos inconvenientes tenemos los números complejos (que no voy a pararme a explicar). Fuera del dominio de esta función, o sea, para |x|>r tendremos que en el plano complejo continúa nuestra función convirtiéndose en una hipérbola:

con |x|>r     (i: variable compleja)

o de forma implícita:

pero en el plano imaginario. Como es de suponer, el dominio de una hipérbola es justamente el contrario al de la circunferencia, o sea que existe en todo excepto -r<x<r.

Si consideramos la función en un espacio en el que x,y forman un plano real y hacemos un plano imaginario perpendicular x,i, tenemos una función que existe para todos los valores de x. Veámoslo, como siempre, con un dibujito: 

Todo esto también es válido para las ecuaciones sin las simplificaciones que hemos considerado, pero ¿quién quiere complicaciones que pueden hacer que nos perdamos?

Entremos ahora en una interpretación Física. Hace tiempo, considerando esto, al ver el típico diagrama de inmersión en el que se representa el espacio-tiempo como un tejido elástico deformado por la materia, me recordó la figura que he dibujado y le di vueltas a si podía aplicarse todo esto a la curvatura producida por la materia. Por ejemplo, en el interior de una masa esférica, por ejemplo una estrella o un planeta, la curvatura del espacio tiempo en el interior es diferente a la del exterior. Y yo pensé si podría estar todo reunido en una sola ecuación. Lo que significase que el espacio-tiempo tuviera una componente real y otra imaginaria no llegué a darle sentido físico, pero la idea me resultó atractiva. Para mi desgracia, al leer el libro que mencioné en una entrada anterior, “Un viaje por la gravedad y el espacio-tiempo” de John Wheeler, explicaba que en el exterior de la materia la geometría era parabólica, no hiperbólica como yo había pensado, lo que me volvió a dejar chafado una vez más.

Pero no me resisto a continuar en mis trece y busco como siempre dar una explicación alternativa a las cosas que me disgustan de la Física aceptada y probada. Y, ¿cómo no? Vuelvo a la carga con los agujeros negros.

Sorry, suffering followers, today’s time for some little maths. Those who don’t like mathematics (I’ve never understood why) can skip this post because I won't actually reach any conclusion. It isn’t going to be very complicated, I promise. I have to make a bit long introduction before getting to the point, so I beg some patience.

Let’s consider the implicit equation of an ellipse:

where (x 0, y0) is the center of the ellipse and a, b are the semi-axes lengths.

We will also remember that the equation of a hyperbola is:

Let’s simplify the equation of the ellipse with the center at the origin of coordinates, (x0,y0)=(0,0)

In the particular case a=b, we can assign it a value called r, i.e. a=b=r:: 

Now we have a circumference in the origin of coordinates and radius r. Easy isn’t it?

The domain of a function is the set of values of x in which the function has a real number value. In the case of our circumference the domain would be the values between - r and r, because if we represent the explicit equation we have:

And for the values outside this range there’s the root of a negative value, and therefore there is no real solution.

But not all numbers are real in mathematics. To deal with these we have complex numbers (which I won't stop to explain). Outside the domain of this function, i.e. for |x| > r we have that in the complex plane our function continues becoming a hyperbola:

with |x|>r     (i: complex variable)

Or in implicit form:

but in the imaginary plane. As it is to be expected, the domain of a hyperbola is precisely the complementary of that of the circumference, i.e. it exists for all except -r<x<r.

If we consider the function in a space in which x,y is a real plane and we do an imaginary plane perpendicular x, i, we have a function that exists for all values of x. Let’s see it, as always, with a little picture: 

This is also true for the equations without simplifications that we considered before, but who wants complications that may make us to get lost?

Let's go now into a physical interpretation. Long ago, considering this, seeing the typical immersion diagram in which space-time is represented as an elastic fabric distorted by matter, reminded me of the figure that I have drawn and thought whether it could be applied to the curvature produced by matter. For example, in the interior of a spherical mass, e.g. a star or a planet, the curvature of space time inside is different from outside. And I thought if all could be put together in a single equation. What would mean that space-time had a real component, and another imaginary didn't make physical sense, but the idea was attractive to me. Unfortunately, reading the book I mentioned in a previous post, "A Journey Into Gravity and Spacetime" by John Wheeler, he explained that the geometry outside was not hyperbolic as I had thought, but parabolic, and that let me down once again.

But I can’t help going on and on looking, as always, for an alternative explanation to what I dislike of accepted and proven Physics. And of course I come back to deal with black holes.