¿Problemas de visualización? Visualization problems?

Tal vez me he pasado un poco en la entrada Ecuaciones para un universo con una ración muy cruda de matemáticas y sin ninguna figurita para ayudar a digerirla. Podría argumentar que no son matemáticas muy complicadas, pero la verdad es que se me pasó por completo. No pasa nada, porque ahora, al intentar dar una pequeña interpretación física, me basaré en la figura que abre esta entrada para ver las consecuencias de las ecuaciones y poder visualizar un poco mejor los conceptos que he descrito.

Para empezar, creo que, sin imágenes, lo que puede ser más difícil de visualizar en las ecuaciones finales es el uso de las funciones hiperbólicas, pero esto no debe acobardar nuestra mente euclidiana (aunque haya quien se crea que por comprender bien otras geometrías no euclidianas es capaz de visualizarlo sin problemas), porque como hemos visto en la demostración, las ecuaciones paramétricas se combinaban en la ecuación implícita de un hipertoro 4D. No importa cómo sea la forma aparente de las componentes paramétricas. Lo importante es la combinación de todas las componentes. De todas formas recordaré que podemos escribir cualquier conjunto de posibles ecuaciones paramétricas que representen una misma función implícita, la cual sí que es única. La elección de este conjunto particular que he escrito es debido a que se puede desarrollar matemáticamente para llegar a resultados interesantes y luego interpretarlo físicamente de una forma algo más intuitiva.

Sea como sea, el problema de visualización es independiente de las ecuaciones que escribamos, ya que nuestra incapacidad viene de que no podemos ver cuatro o más dimensiones sin acudir a los trucos habituales. Y, claro, el truco más usado es el de los diagramas de inmersión, donde acudimos a un modelo con menos dimensiones, explicamos los conceptos que se intentan mostrar y luego decimos que es lo mismo, pero con una dimensión más.

En la figura del inicio ya estamos aplicando la inmersión con la supresión de la variable δ.

Así que, en el caso que tenemos entre manos, podemos reescribir las ecuaciones con una dimensión menos y ver a dónde nos llevan. En estos casos no tenemos que preocuparnos por la visualización porque tendremos el toro 3D que aparece en la figura, sólo que con una de las dimensiones en el eje imaginario de los números complejos. Y en este sentido, aunque parezca que me repito demasiado, vuelvo a recordar el concepto de tiempo como una componente imaginaria en nuestro espacio-tiempo de cuatro dimensiones (o más, pero no vamos a liar más el tema por ahora).

Otra cosa importante que debemos tener en cuenta es que es la superficie y no el volumen lo que tiene un significado físico de geometría del universo.

Modelo 1 (φ=ict):

x = (R + r cosh ct) cos θ
y = (R + r cosh ct) sen θ
z = i r senh ct

En la figura de la entrada, el ángulo que hemos llamado φ representaría la dimensión temporal. Digamos que en la evolución de este esquema vemos que tanto la geometría espacial como la temporal no son estáticas, sino que cambian según transcurre el tiempo y todas ellas se van curvando (el tiempo también) hasta que acaban cerrándose.

Hay un caso particularmente interesante que es aquel en el que R = r, donde vemos que para t = 0 el espacio está comprimido en un solo punto, algo vagamente parecido a un modelo tipo Big Bang, seguido de un Big Crunch.

Además podemos ver una expansión al principio (en el primer cuadrante) aparentemente acelerada.

Modelo 2 (θ=ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
z = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ

Lo que vemos aquí es que la geometría puramente espacial permanece invariable y es el tiempo el único que se cierra. Parece un modelo bastante más aburrido que el primero, aunque al principio era el que más me atraía. Quiero resaltar que aunque cada sección circular del modelo representa el espacio en un determinado instante, el espacio sigue siendo cerrado, ya que en tales secciones lo que consideramos no es una superficie circular sino la circunferencia. Así, como expliqué en entradas anteriores, si avanzamos en cualquier dirección espacial podremos aparecer por el otro lado.

Podría parecer que este modelo no es válido porque no predice ninguna expansión como en el Big Bang, pero como ya expliqué en anteriores entradas, no hay que tener excesivas prisas en descartarlo porque las observaciones cosmológicas podrían ser explicadas de forma distinta de la convencional.

Sin embargo, en el proceso de deducción de las ecuaciones, este modelo perdió fuerza para mí porque, aunque en un instante dado (en una rodaja del donut) las componentes espaciales parecen ser bastante homogéneas, tengo la impresión de que debería haber efectos medibles de la curvatura temporal sobre la luz ya que dicha curvatura no sería igual en toda la geometría del toroide (la curvatura temporal en el interior del toro es más acusada que en el lado de fuera) y creo que este efecto debería ser detectable en la radiación cósmica de fondo.

Modelo 3 (δ = ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
y = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ

No tiene mucho sentido poner otra figura, porque las ecuaciones y su interpretación física son iguales que en el Modelo 2. Digamos que se puede considerar el mismo modelo pero “girado” 90 grados.

Como se puede observar, en cada modelo de inmersión he prescindido de componentes diferentes, pero aunque en 2 y 3 aparece la extraña w, a la hora de analizar un modelo de tres dimensiones no importa cómo se llama cada una de las componentes.

La objeción más importante que se puede hacer a estos modelos es cómo pueden encajar las observaciones cosmológicas en estos esquemas, tales como la radiación cósmica de fondo, el desplazamiento al rojo de las líneas espectrales y otras pruebas en favor de los modelos de mayor aceptación por los que saben. Creo que algunas posibles salidas más o menos afortunadas (he de reconocer que menos) están bosquejadas en las entradas anteriores, especialmente en Principios(3). Tal vez más delante daré una descripción más detallada sobre este tema.

In the post Equations for a universe I may have gone too far with a very raw mathematics dose and without any picture to help digest it. I could argument that the implied maths aren’t very complicated, but to say the truth I unintentionally skipped it completely. It doesn’t matter, because now, trying to give it a small physical interpretation, I’ll try to explain it using this post’s opening picture to see the consequences of the equations and to be able to visualize a little better the concepts I have described.

To begin, I believe that the most difficult thing to visualize in the final equations is the use of hyperbolic functions, but this should not intimidate our Euclidean mind (although there are people who believe they can visualize without problem non Euclidean geometries by understanding them well), because as we have seen in the demonstration, the parametric equations are combined in the implicit equation of a 4D hypertorus. The apparent shape of the parametric components doesn’t matter. The important thing is the combination of all the components. Anyway, I'll remember that we can write any set of possible parametric equations representing the same implicit function, which is unique. The choice of this particular set I have written is because they can be mathematically developed to arrive to interesting results and then interpret them physically in a more intuitive way.

Whatever it is, the visualization problem is independent of the equations we write, since our inability comes from the fact that we cannot see four or more dimensions without resorting to the usual tricks. And of course, the most widely used trick is the use of immersion diagrams, where we study a model with less dimensions, we explain the concepts we are trying to show and then we say that it is the same, but with more dimensions.

In the opening picture we are already applied immersion with the elimination of the variable δ.

So, in the case we are considering, we can rewrite the equations with one dimension less and see where it takes us. In these cases you don't have to worry about the visualization because we will have the 3D torus displayed in the figure, but with one of the dimensions in the imaginary axis of the complex numbers. And in this sense, although it seems that I repeat too much, I remember again the concept of time as an imaginary component in our four-dimensional space-time (or more than four, but I don’t want to mess with this topic for now).

Another thing we have to consider is that the Surface and not the volume is what has a physical meaning concerning the universe geometry.

Model 1 (φ=ict):

x = (R + r cosh ct) cos θ
y = (R + r cosh ct) sin θ
z = i r sinh ct

In the initial picture the angle called φ would represent the time dimension. As we can see in this model the space and time dimensions aren’t static, but they change and all of them are curving (time as well) until they finally close.

There is a particularly interesting case in which R = r, where we see that for t = 0 space is compressed into a single point, something vaguely resembling a Big Bang model, followed by a Big Crunch.

We can also see a seemingly accelerated expansion at the beginning (in the first quadrant).

Model 2 (θ=ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
z = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ

We can also see a apparently accelerated expansion at the beginning (in the first quadrant).

This model might seem not valid because it does not predict any expansion as seen in the conventional Big Bang model, but, as I already explained in previous posts, we should not discard it so quickly because cosmological observations could be explained in other ways different from the conventional ones.

However, in the equations deduction process, this model lost force for me because even if at a given moment (in a slice of the doughnut) the spatial components seem to be fairly homogeneous, I have the impression that the physical effects of time light-bending would not be the same everywhere along the torus (the temporal curvature on the inside is more accentuated than in the outside) and I think that this effect should be detectable in the form of variations in the cosmic radiation background.

Model 3 (δ = ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
y = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ

Another picture here doesn't make much sense, because the equations and their physical interpretation are the same than in model 2. Let's say that the same model can be considered but "rotated" 90 degrees.

As you can see, in each immersion model I've disregarded different components, but although the weird w appears in 2 and 3, when analyzing a three-dimensional model it doesn’t matter how each of the components is called.

The most important objection that can be made to these models is how to account for the cosmological observations in these schemes, such as the cosmic background, spectral lines redshift and other evidence for the models of greater acceptance for those who know. I think that some possible alternative solutions, more or less fortunate (less, I must admit), are sketched in the previous posts, especially in Principles(3). Perhaps I will later give a more detailed description about this topic.

Siempre tarde... Always late...

Hay veces que creo que la mayoría de las cosas que se me ocurren solo son basura por muy claras que aparezcan en mi cabeza. Tanto más en las ocasiones en las que hasta a mí me resultan descabelladas. Pero lo más gracioso es que a veces la realidad me sorprende hasta límites insospechados.

En mi entrada “El curioso caso de EPR y ER” comenté una idea que me pareció curiosa pero que aunque la veía bastante clara, no habría dado un chavo por defenderla en serio delante de alguien que tenga los conocimientos básicos para entender la idea y mucho menos ante alguien que entienda el tema de verdad.

Y hace unos días me entero de que la idea que un desinformado ignorante como yo ya había sido propuesta en forma de conjetura por dos grandes físicos (claro, que la forma en que ellos la han propuesto tiene mucho más fundamento que la pobre y chapucera explicación que yo di). Esa conjetura es la de Maldacena – Susskind, que incluso tiene una entrada en la Wikipedia como ER=EPR (hasta la fecha de publicación de esta entrada, solo está en inglés).

Cuando leí sobre el tema averigüé cuándo había sido propuesta y descubrí que llegué tarde por un año.

Ahora podría decir alguien: “Sí, claro, coge una idea rara de unos tipos geniales, se la apropia como suya y luego dice que es que ha llegado tarde…”. Bueno, que cada cual que crea lo que quiera.

Sometimes I think that most of my bright ideas are only rubbish, no matter how clear they appear in my mind. Even more when I think of them as misbegotten. But the funny thing is that sometimes reality surprises me to the absolute limits.

In my post "The curious case of EPR and ER" I mentioned an idea that seemed curious to me but although it saw it rather clear, I would have not given a cent for defending it seriously in front of someone who has basic knowledge to understand the idea, much less to someone who truly knows about the issue.

And a few days ago I find out that the same idea that an uninformed ignorant like me, had already been proposed in the form of conjecture by two great physicists (of course, the way in which they have proposed it is far more rationale than the poor and sloppy explanation I gave). This is the Maldacena – Susskind conjecture, which even has an entry on Wikipedia as ER = EPR.

When I read about the subject I found out when it had been proposed and I was late for a year.

Now someone can tell: "Yes, of course, he takes a strange idea from some great guys, he makes it as his own and then he says that he is late... ". Well, everyone can believe whatever they want.

Ecuaciones para un universo Equations for a universe

Hace tiempo sometí mis ideas sobre el Universo a la persona que me sirve de víctima escuchando mis desvaríos antes de decidirme a publicar algo. Prestando aparentemente atención me dijo: “Ahora lo que tendrías que hacer es ponerlo en forma de ecuaciones”. He de confesar que al principio me dejó chafado, pero con el tiempo me dije que podría darle una vuelta al tema. Tras bastante tiempo meditando fueron apareciendo poco a poco algunos flashes de cómo podría enfocar el problema y al final me lancé a emborronar algo sencillo pero que puede expresar mis ideas de forma matemática. También debo admitir que en el transcurso del desarrollo de las ecuaciones mi visualización previa del tema ha cambiado levemente, aunque todo lo dicho en otras entradas anteriores no ha variado nada.

No es mi costumbre pero explicaré de forma algo tediosa, paso a paso, algunas de las deducciones de las ecuaciones que voy a escribir sobre todo para aquellos que se asustan fácilmente con las matemáticas y para aquellos que, como yo, tengan muchos de estos conceptos bastante olvidados y se encuentren algo oxidados. Mi razón para hacerlo así es que hubiera sido demasiado fácil buscar las ecuaciones en cualquier sitio y de ahí buscar sus implicaciones. Pero yo preferí hacer la deducción de manera casera-chapucera, con lo que me he divertido mucho más y a fin de cuentas mi confianza en mis propias habilidades ha crecido y me puede ayudar a tener una visión más clara de lo que al final pretendo deducir.

Sin más preámbulos, vamos a empezar.

La manera más simple de definir un espacio-tiempo cerrado en tiempo y espacio sería una hiperesfera en cuatro dimensiones en la que el tiempo sería una de esas cuatro dimensiones y las otras tres serían las dimensiones espaciales. Hasta donde yo he investigado (la verdad, no mucho) no he encontrado publicadas ecuaciones sencillas de este tipo, así que las deduciremos de forma sencilla.

Partiremos de la ecuación de una esfera e introduciremos una dimensión extra:

• Esfera 3D:

Ecuación implícita:

x² + y² + z² = R²

Paramétrica:

x = R cos θ cos φ
y = R cos θ sen φ
z = R sen θ

• Hiperesfera 4D:

Ecuación implícita:

x² + y² + z² + w² = R²

Paramétrica:

x = R cos θ cos φ cos δ
y = R cos θ cos φ sen δ
z = R cos θ sen φ
w = R sen θ

Como ya expresé en alguna entrada anterior, mi idea de la coordenada temporal es la que propuso Minkowski en la interpretación de la geometría de 4 dimensiones para la Relatividad especial, definiendo las coordenadas de la forma (x,y,z,ict), siendo i la parte imaginaria de los números complejos y c la velocidad de la luz en el vacío.

Para no repetirme tediosamente en una etapa posterior, dejaré como ejercicio para quien esté interesado, la interpretación de las variables que podrían representar el tiempo en esta expresión.

Sin embargo este modelo tiene un gran defecto, la curvatura global de este modelo es positiva y parece ser que el Universo en el que estamos tiene una curvatura plana.

Una de las ideas que goza de bastante popularidad (aunque no he visto ecuaciones sencillas) es que la geometría del Universo podría ser un hipertoro 4D (curvatura plana).

Para verlo partiremos de la ecuación de un toro 3D.

Ecuaciones paramétricas:

x = (R + r cos φ) cos θ
y = (R + r cos φ) sen θ
z = r sen φ

Ecuación implícita:

(R - sqrt(x² + y²))² + z² = r²

Si extrapolamos con una dimensión adicional tendremos un hipertoro 4D:

Ecuaciones paramétricas:

x = (R + r cos φ) cos θ cos δ
y = (R + r cos φ) cos θ sen δ
z = (R + r cos φ) sen θ
w = r sen φ

Ecuación implícita:

(R - sqrt(x² + y² + z²))² + w² = r²

Tanto en la hiperesfera 4D como en este hipertoro 4D aparece un nuevo ángulo δ que no somos capaces de visualizar en nuestra mente tridimensional pero de momento no nos vamos a preocupar por la visualización.

Lo tentador sería que la cuarta dimensión sea w= ict para introducir un tiempo “a la Minkowski”.

Entonces:

ict = r sen φ

r cos φ = sqrt ( r² – (ict)²) = sqrt (r² + (ct)²)

Tenemos pues:

x = (R + sqrt (r² + (ct)²)) cos θ cos δ
y = (R + sqrt (r² + (ct)²)) cos θ sen δ
z = (R + sqrt (r² + (ct)²)) sen θ
w = ict

Tiene buena pinta, con tres dimensiones reales (puramente espaciales) y una compleja (temporal).

Deducimos la ecuación implícita:

x² + y² = (R + sqrt (r² + (ct)²))² cos² θ
x² + y² + z² = (R + sqrt (r² + (ct)²))²
w² = -(ct)²

Entonces: x² + y² + z² = (R + sqrt (r² - w²))²

Que es lo mismo que: (R - sqrt(x² + y² + z²))² + w² = r², la ecuación que teníamos antes de un hipertoro 4D.

Pero no me satisface porque la encuentro demasiado euclidiana y no añade gran cosa a lo que ya teníamos porque el tiempo sigue siendo abierto, cuando he defendido la idea sobre un tiempo cerrado.

Para explicar un universo donde el tiempo sea cerrado podemos hacer que una de las variables angulares sea la que defina el tiempo. Así podríamos hacer que θ = ict o que δ = ict, pero introduciría tres dimensiones con componentes temporales y una espacial, lo que complicaría las cosas. Creo que la mejor solución es parecida a la que acabamos de deducir, pero en lugar de considerar ict = r sen φ, hacemos directamente ict = φ.

Así, tendríamos en definitiva:

x = (R + r cos ict) cos θ cos δ
y = (R + r cos ict) cos θ sen δ
z = (R + r cos ict) sen θ
w = r sen ict

Podría parecer que estamos en un callejón sin salida, con cuatro componentes imaginarias. Pero no me voy a rendir tan pronto y vamos a manipular las ecuaciones para ver si podemos encontrar una salida satisfactoria.

Si recordamos la fórmula de Euler:

e^iα = cos α + i sen α

De donde podemos expresar las funciones trigonométricas como:

cos α = (e^iα + e^-iα) / 2
sen α = = (e^iα - e^-iα) / (2 i)

Recordamos también las funciones hiperbólicas:

cosh α = (e^α + e^-α) / 2
senh α = (e^α - e^-α) / 2

Entonces, como i² = -1 y además - i = 1 / i:

cos ict = (e^i(ict) + e^-i(ict)) / 2 = (e^-ct + e^ct) / 2 = cosh ct
sen ict = (e^i(ict) - e^-i(ict)) / (2i) = (e^-ct - e^ct) / (2i) = - (senh ct) / i = i senh ct

Por lo que tenemos finalmente:

x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ
y = (R + r cosh ct) cos θ sen δ
z = (R + r cosh ct) sen θ
w = i r senh ct

Donde vemos que tenemos tres dimensiones puramente espaciales (aunque dependan de t, solo tiene componentes reales) y una de tipo temporal (componente imaginaria).

Ahora veremos si hemos hecho bien los cálculos y la ecuación sigue correspondiendo a un hipertoro 4D:

x² = (R + r cosh ct)² cos² θ cos² δ
y² = (R + r cosh ct)² cos² θ sen² δ
z² = (R + r cosh ct)² sen² θ
w² = - r² senh² ct

x² + y² = (R + r cosh ct)² cos² θ
x² + y² + z²= (R + r cosh ct)²

r cosh² ct = r (1 + senh² ct) = r² – w²
cosh ct = sqrt (r²-w²)

x² + y² + z² = (R + sqrt(r² - w²))²

Y así es.


Actualización 2016-01-06:

He cometido un error por no pensar las cosas despacio antes de escribir. Ya lo decía el proverbio turco: “Mide mil veces pero corta solo una vez”.

Cuando escribí: “podríamos hacer que θ = ict o que δ = ict, pero introduciría tres dimensiones con componentes temporales y una espacial, lo que complicaría las cosas”, no me di cuenta que la misma manipulación que hice con el ángulo φ para conseguir una sola dimensión imaginaria y tres reales se puede hacer de idéntica manera con cualquiera de las variables angulares con el mismo resultado, aunque tendría distintas interpretaciones físicas.

Por tanto, sin entrar en detalles innecesarios en el desarrollo, tendríamos dos sistemas de ecuaciones paramétricas alternativas a la que hemos visto antes:

1) Para θ = ict:

x = (R + r cos φ) cosh ct cos δ
y = (R + r cos φ) cosh ct sen δ
z = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ

2) Para δ = ict:

x = (R + r cos φ) cos θ cosh ct
y = i (R + r cos φ) cos θ senh ct
z = (R + r cos φ) sen θ
w = r sen φ

Las diferentes interpretaciones físicas se analizarán en otra entrada.

Some time ago I explained my ideas about the Universe to the person who plays as a victim to me, listening to my rants before I decide to post something. Apparently paying attention he said: "What you should do now is to put it in the form of equations". I have to confess that at first it left me wordless, but over time I told myself I could give it a try. After quite some time mulling over it, some flashes were gradually appearing about how I could approach the problem and at the end I began to sketch something simple that can express my ideas mathematically. I must also admit that, in the course of the development of the equations, my view of the issue has changed slightly, but all that was told in previous posts has not changed in any way.

It is not my habit but I'll explain in some tedious way, step by step, some of the deductions of the equations that I'm going to write, essentially for those who are easily frightened with maths and for those who, like me, have many of these concepts quite forgotten and are somewhat rusty. My reason for doing so is that it would have been too easy to find equations on any site and hence find their implications. But I chose to make the deduction in a home-made sloppy way, with which I have had much more fun and ultimately my confidence in my own abilities has grown and it can help me to have a clearer vision of what I ultimately intend to deduce.

Without further ado, let's start.

The simplest way to define a space-time closed in time and space would be a hypersphere in four dimensions in which time would be one of those four dimensions and the other three would be the spatial dimensions. To where I have researched (not much, to say the truth) I haven’t found published such simple equations, so we will deduct them easily.

We will start from the equation of a sphere and introduce an extra dimension:

• 3D Sphere:

Implicit equation:

x² + y² + z² = R²

Parametric form:

x = R cos θ cos φ
y = R cos θ sin φ
z = R sin θ


• 4D Hypersphere:

Implicit equation:

x² + y² + z² + w² = R²

Parametric form:

x = R cos θ cos φ cos δ
y = R cos θ cos φ sin δ
z = R cos θ sin φ
w = R sin θ

As I already wrote in a previous post, my idea of the time coordinate is what Minkowski proposed in the interpretation of the 4-dimensional geometry for Special Relativity, defining the coordinates in the form (x, y, z, ict), being i the imaginary unit in complex numbers and c the speed of light in a vacuum.

In order not to repeat myself tediously at a later stage, I'll leave as an exercise for those who are interested, the interpretation of the variables that could represent time in this expression.

However, there is a great weakness. In this model the global curvature is positive and it seems that the Universe in which we live is flat.

One of the ideas that is quite popular (although I haven’t seen simple equations) is that the geometry of the Universe could be a 4D hypertorus (flat curvature).

To view it we can start from a 3D torus equation.

Parametric equations:

x = (R + r cos φ) cos θ
y = (R + r cos φ) sin θ
z = r sin φ

Implicit equation: (R - sqrt(x² + y²))² + z² = r²

If we extrapolate with an additional dimension, we have a 4D hypertorus:

Parametric equations:

x = (R + r cos φ) cos θ cos δ
y = (R + r cos φ) cos θ sin δ
z = (R + r cos φ) sin θ
w = r sin φ

Implicit equation:

(R - sqrt(x² + y² + z²))² + w² = r²

In both equations, 4D hypertorus and 4D hypersphere, there’s a new angle δ, that we are not able to visualize in our three-dimensional mind but for the moment we will not worry about its display.

We could be easily tempted to let the fourth dimension w = ict to introduce a time in a "Minkowski way".

Then:

ict = r sin φ

r cos φ = sqrt ( r² – (ict)²) = sqrt (r² + (ct)²)

So:

x = (R + sqrt (r² + (ct)²)) cos θ cos δ
y = (R + sqrt (r² + (ct)²)) cos θ sin δ
z = (R + sqrt (r² + (ct)²)) sin θ
w = ict

It looks good, with three real dimensions (purely spatial) and a complex one (temporary).

Now we deduce the implicit equation to see if everything works:

x² + y² = (R + sqrt (r² + (ct)²))² cos² θ
x² + y² + z² = (R + sqrt (r² + (ct)²))²
w² = -(ct)²

Then: x² + y² + z² = (R + sqrt (r² - w²))²

That is the same as: (R - sqrt(x² + y² + z²))² + w² = r², the equation seen before.

But I am not satisfied with it because I find it too Euclidean and it doesn’t add much to what we had because time remains open, when I have defended the idea of a closed time.

To explain a universe where time is closed, we can let one of the angular variables as time. So we could make that θ = ict or δ = ict, but it would introduce three dimensions with time components and one spatial, which would complicate things. I think the best solution is similar to that just inferred, but rather than ict = r sin φ, we let directly ict = φ.

Thus, we would have definitely:

x = (R + r cos ict) cos θ cos δ
y = (R + r cos ict) cos θ sin δ
z = (R + r cos ict) sin θ
w = r sin ict

It may seem that we are in a dead-end street, with four imaginary components. But I'm not going to give in so soon and we are going to manipulate the equations to see if we can find a satisfactory outcome.

Remembering Euler’s formula:

e^iα = cos α + i sin α

From where we can express the trigonometric functions as:

cos α = (e^iα + e^-iα) / 2
sin α = = (e^iα - e^-iα) / (2 i)

We have to remember hyperbolic functions as well:

cosh α = (e^α + e^-α) / 2
sinh α = (e^α - e^-α) / 2

Then, as i² = -1 and also - i = 1 / i:

cos ict = (e^i(ict) + e^-i(ict)) / 2 = (e^-ct + e^ct) / 2 = cosh ct
sin ict = (e^i(ict) - e^-i(ict)) / (2i) = (e^-ct - e^ct) / (2i) = - (sinh ct) / i = i sinh ct

Thus, we finally have:

x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ
y = (R + r cosh ct) cos θ sin δ
z = (R + r cosh ct) sin θ
w = i r sinh ct

Where we see that we have three purely spatial dimensions (although they depend on t, they only have real components) and a temporary type (imaginary component).

Now we’ll see if all the calculi have been well done and the equation is still one of a 4D hypertorus:

x² = (R + r cosh ct)² cos² θ cos² δ
y² = (R + r cosh ct)² cos² θ sin² δ
z² = (R + r cosh ct)² sin² θ
w² = - r² sinh² ct


x² + y² = (R + r cosh ct)² cos² θ
x² + y² + z²= (R + r cosh ct)²

r cosh² ct = r (1 + sinh² ct) = r² – w²
cosh ct = sqrt (r²-w²)

x² + y² + z² = (R + sqrt(r² - w²))²

And it is.


Update 2016-01-06:

I have made a mistake not pondering before writing. As the Turkish proverb says: "Measure a thousand times but cut only once". When I wrote: " we could make θ = ict or δ = ict, but it would introduce three dimensions with time components and one spatial, which would complicate things" I didn't realize that the same manipulation I did with the angle φ to obtain only one imaginary dimension and three real ones can be made the same way with any angle variables with the same outcome, but it would have different physical interpretations.

Therefore, without going into unnecessary detail in the development, we would have two alternative sets of parametric equations to those we have seen before:

1) For θ = ict:

x = (R + r cos φ) cosh ct cos δ
y = (R + r cos φ) cosh ct sin δ
z = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ

2) For δ = ict:

x = (R + r cos φ) cos θ cosh ct
y = i (R + r cos φ) cos θ sinh ct
z = (R + r cos φ) sin θ
w = r sin φ

The different physical interpretations will be analyzed in a further post.

Principios (3) Principles (3)

Uno de los problemas que no conseguía ver claro en la primera serie de entradas que escribí sobre las características que podía tener un modelo de universo cerrado sin bordes en espacio y en tiempo era el del corrimiento de las líneas espectrales al rojo, explicado por la cosmología convencional como una expansión del espacio-tiempo y simplemente dejé un apunte de que podría existir una explicación de este desplazamiento de origen cosmológico pero diferente a la expansión. Este problema me ha tenido preocupado bastante tiempo, intuía el qué, pero no el cómo.

Pero al fin, tras mucho darle vueltas, creo haberlo encontrado. Para comprender mi punto de vista vamos a razonar brevemente sobre este asunto. Se puede entender fácilmente que si un espacio delante de nosotros está altamente curvado, un objeto en ese espacio se vería aparentemente distorsionado espacialmente aunque al objeto realmente no le pasara nada, como ocurre con las lentes gravitatorias, por poner un ejemplo.

Igualmente en un tiempo altamente distorsionado la apariencia de los objetos distaría de ser la habitual. Y ¿cómo afectaría a la apariencia de lo que vemos? Mi punto de vista es que en un tiempo muy curvado el efecto sería el de alterar nuestra percepción de la frecuencia de la luz que recibimos, ya que la frecuencia de la luz no es otra cosa que el número de oscilaciones de la onda luminosa por unidad de tiempo.

Una posible crítica a este modelo es que si tenemos un universo cerrado, si un rayo de luz viaja en una dirección determinada podría acabar volviendo al punto de origen (recordemos, en espacio y tiempo) y aunque muy debilitado, podría sumarse al rayo de luz original y esto haría que pudiera crearse un efecto de acumulación de energía que tendría consecuencias complicadas de eludir. Yo podría salir por la vía fácil, argumentando que el rayo de luz se podría desviar y no recalar en el mismo punto, o que tras tanta distancia su efecto sería despreciable. Pero si sumamos toda la luz que recorre el universo, de una forma u otra, tendremos que atajar el problema de una forma menos chapucera.

Mi propuesta es que toda esa luz dando vueltas y más vueltas podría efectivamente sumarse a la original, eso sí teniendo en cuenta que habría, como he explicado antes, un desplazamiento de la frecuencia hacia el rojo por la curvatura cerrada del tiempo. Pero en definitiva sigue habiendo un efecto de suma de términos infinitos que no podríamos eludir. Sin embargo tengo una respuesta a esto. La suma de infinitos términos no es siempre una cantidad infinita. Por ejemplo, en una serie convergente tenemos una suma finita tras sumar infinitos elementos. Es la misma explicación que para las aporías de Zenón de Elea. De esta manera, tendríamos una radiación aproximadamente uniforme de fondo, muy desplazada hacia el rojo (mejor dicho hacia longitudes de onda más largas), pero no tan enorme como la propuesta para el caso de la paradoja de Olbers. Ahí nos encontramos con una vía para explicar la radiación de fondo de microondas sin recurrir al Big Bang.

One of the problems that I wasn't able to see clear in the first series of posts I wrote about the characteristics that a model of the universe closed without edges in space and in time could have was the spectral lines redshift, explained by conventional Cosmology as a space-time expansion and I simply drew a note that there might be an explanation for this displacement of cosmological origin but different from expansion.This problem has had me concerned for quite some time. I could see 'what' but not 'how'.

But in the end, after much wondering, I think I have found it. To understand my point of view we will briefly reason on this matter. You can understand easily that if a space in front of us is highly curved, an object in such space would be seen spatially distorted apparently although nothing really happened to it, as it is the case with gravitational lenses, for example.

Also in a highly distorted time the appearance of objects is far from normal. And how would it affect to the appearance of what we see? My point of view is that in a very curved time the effect would be the alteration in our perception of the frequency of the light we receive, since the frequency of light isn't anything else than the number of oscillations of the light waves per time unit.

A possible criticism of this model is that when we have a closed universe, a ray of light travelling in a certain direction could end up returning to the original point (remember, in space and time) and although very weakened, it could be added to the original light beam and this would mean that there could be an effect of accumulation of energy that would be difficult to avoid.Now I could take the easy way, arguing that the ray of light could divert and not arrive at the same point, or that after so much distance its effect would be negligible. But if we add all the light that travels across the universe, some way or another we will have to tackle the problem in a less sloppy way.

My proposal is that all that light after more and more turns could indeed be added to the original but considering -as I have explained above- a redshift by means of the closed curvature of time. But there remains eventually an effect of sum of infinite terms that we can not escape. However, I have an answer to this. The sum of infinite terms is not always an infinite amount. For example, in a convergent series we have a finite number after adding infinite elements. It is the same explanation as for the Zeno of Elea's paradoxes. In this way, we would have an approximately uniform radiation background, very redshifted (rather shifted towards longer wavelengths), but not as huge as the proposed for the case of the Olbers paradox.There we find a way to explain the microwave background radiation but not related to a Big Bang.

Principios (2) Principles (2)

Quienes hayan seguido este desatino de blog ya habrán deducido que cuando en la entrada anterior escribía sobre ciertas teorías que en algún momento se saltaban algunos principios fundamentales, principalmente me refería al Big Bang con el modelo inflacionario y la energía oscura, tres ingredientes que me cuesta digerir por separado, y ¡no digamos juntos!

A pesar de que se considera que hay bastantes evidencias en su favor, voy a intentar descartar algunas de ellas como buenamente pueda, o al menos a dar ciertos puntos de vista que pudieran hacer pensar que tales evidencias pueden ser puestas en duda como tales, aunque solo sea por unos segundos (bueno, si consigo sembrar la duda un solo segundo sería una gran cosa. Después de todo, según estas teorías, al Universo le dio tiempo a hacerse bastante gordito en ese lapso de tiempo…).

Para empezar, el modelo del Big Bang se salta en un microinstante el principio de conservación de la energía, no de cualquier manera, sino de forma colosal. Sólo por un instante diminuto, pero ¡qué bien aprovechado!

Luego, el modelo inflacionario consigue que el espacio-tiempo se expanda a velocidades mayores que la de la luz también durante instantes muy cortos, y para explicarlo los físicos dicen que el límite de velocidad máxima no se aplica al propio espacio-tiempo. Por añadidura, el modelo de energía oscura ayuda a esta situación.

Pero, como prometí, la cosa no va a ser solo criticar, sino intentar dar alternativas e intentar razonarlas un poco, aunque probablemente (bueno, más que eso) sean estupideces que no se sostienen.

Uno de los puntos de evidencia a favor del Big Bang es que el cielo es oscuro, lo que descarta un universo infinito y poblado más o menos uniformemente de estrellas, galaxias, etc. Es la conocida paradoja de Olbers, la cual, como es mi costumbre, no me pararé a explicar.

A esta evidencia se le puede añadir la radiación cósmica de fondo.

¿Cómo? ¿Una radiación uniforme de fondo y una paradoja que dice que no se ve una radiación uniforme porque el universo no es infinito? ¡Vaya! ¿Puedo jugar con los dos conceptos?

Vale, no vamos a considerar un universo infinito, que para mí es tan insatisfactorio como el otro extremo, pero como ya indiqué en entradas anteriores, voy a seguir con mi hipótesis favorita de un espacio-tiempo cerrado sin bordes.

 Se suele aceptar con bastante consenso que el espacio pueda ser cerrado sin bordes, pero pocos hablan del tiempo cerrado (aunque los hay). Y ¿cuáles serían las consecuencias de este modelo? Bueno, para no cansar demasiado, seguiremos en la próxima entrada…

Those who have followed this nonsense of a blog may have already deduced that when in the previous post I wrote about certain theories that at some point skipped some fundamental principles, mainly I was referring to the Big Bang model plus inflation and dark energy, three ingredients that I can hardly digest separately, let alone all together!

Although it is considered that there are quite a few evidence in its favor, I will try to rule out some of them as best as I can, or at least I'll try to give some points of view that could make you think that such evidence can be put into question, if only for a few seconds (well, to raise doubt only for a single second would be a great thing. After all, according to these theories, the universe got quite fat in that period of time...).

To start, the model of the Big Bang is skipping on a microinstant the principle of conservation of energy, not in any way, but in a colossal way. Yes, only for a teeny tiny moment, but no wasted time at all!

Then the inflationary model allows spacetime to expand at speeds greater than the speed of light, during very short moments as well, and to explain it the physicists say that the maximum speed limit does not apply to space-time itself. In addition to it, the dark energy model contributes to this situation.

But as I promised it's not a question of just criticizing, but I'll try to show an alternative way and I'll try to reason it a little, though probably (well, more than just that) mine are stupidities that are not sustainable.

One of the main points of evidence for the Big Bang is the fact that the sky is dark, which rules out an infinite universe and populated more or less uniformly by stars, galaxies, etc. It is the well known Olbers paradox, which, as always, I will not stop to explain.

To this evidence the cosmic microwave background radiation can be added.

What? A uniform background radiation and a paradox which states that there couldn't ba a uniform radiation if the universe is not infinite? Come on! May I play with these two concepts?

OK, we will not consider an infinite universe, which for me is as unsatisfactory just as the other end, but as I indicated in previous posts, I will continue with my favorite hypothesis of a closed space-time without edges.

 There are enough consensus that space can be closed without edges, but few speak about a closed time (although there are some of them). And what would be the consequences of this model? Well, for not making this too long, we will continue in the next post...

Principios (1) Principles (1)

Una de las cosas que me han enseñado siempre que es fundamental en física es respetar ciertos principios (por ejemplo los de conservación). Y considero que hay elementos en las teorías que actualmente están aceptadas mayoritariamente que se saltan en un momento u otro estos principios para explicar satisfactoriamente los modelos que establecen estas teorías.

Es muy complicado rebatir estas teorías que gozan de la aprobación de la mayoría de la gente que sabe, porque hay numerosas evidencias que las respaldan, y cuando nos encontramos con algo que en un momento muy singular se escapa a una explicación “clásica” por definirlo de alguna manera, los expertos se encogen de hombros y dicen que el universo se comporta de esa manera y que lo que realmente tenemos que aceptar son los resultados de las mediciones (en este punto estoy de acuerdo) y que no se han encontrado explicaciones alternativas que puedan rivalizar con lo actualmente aceptado. O se sacan de la manga trucos para explicar que tales discrepancias con los principios no son tales.

Puede que yo sea un poco (o bastante) obtuso, pero pretendo ir contra corriente y explicar en las próximas entradas (dentro de mis escasos conocimientos, poco discernimiento y mucha desinformación) una forma alternativa de cómo pueden ser las cosas desde un punto de vista muy diferente e intentar que esa explicación sea coherente con las observaciones y a su vez pueda evitar esos puntos oscuros sobre los que los que saben pasan de puntillas mirando a otro lado.

One of the things I have been always taught that is fundamental in physics is to respect certain principles (for example those of conservation). And I think there are elements in the currently most accepted theories that, at one time or another, ignore these principles to explain satisfactorily the models that set these theories.

It is very difficult to refute these theories which enjoy the approval of the majority of people who know, because there are many evidences that support them, and when we find something that escapes a "classic" explanation, to say it somehow, though at a very unique time, experts shrug and say that the universe behaves that way and we really have to accept are the results of the measurements (in This point I agree) and that not known alternative explanations rival the currently accepted.Or some tricks are taken out of the sleeve to explain that such discrepancies with the principles are not such.

I may be slightly (or very) obtuse, but what I intend is to go against the stream and explain in the next posts (with my little knowledge, little discernment and much misinformation) an alternative way of how can some things be from a very different point of view and try to make this explanation consistent with the observations and at the same time to avoid those dark points that those who know walk on tiptoes looking elsewhere.

Luz que no alcanza la velocidad de la luz Light that can’t reach the speed of light

Me he quedado atascado en una duda de las mías y he intentado exprimir la idea, pero no salgo satisfactoriamente de un círculo vicioso. Por ese y por otros motivos llevo tiempo sin escribir aquí. Pero ¡qué coño! ¿no son dudas cosmológicas sobre lo que trata esta gilipollez? Bueno, allá va mi duda.

La energía de un fotón de frecuencia f es:

E = h f

Y toda energía es equivalente a una masa por:

E = m c²

Entonces, aunque un fotón no posee masa, su energía tiene un efecto a través de esta equivalencia como si tuviera una masa:

m = h f / c²

Mi duda es cómo puede un fotón alcanzar su velocidad c en el vacío instantáneamente. Vale, si aceptamos que su masa es cero y la energía es transportada de forma ondulatoria, pero si consideramos la equivalencia anterior tendremos que considerar una aceleración no infinita y que dependiendo de la frecuencia de la luz, y por tanto su energía, tardará un tiempo diferente en alcanzar esa velocidad, y si tenemos en cuenta que un objeto acelerado no puede alcanzar dicha velocidad más que de forma asintótica, ¿cómo es posible? Claro, que también es absurdo considerar que la velocidad de la luz no puede ser alcanzada por la propia luz.

Pero, hay más, ya que de acuerdo con la QED (electrodinámica cuántica), la velocidad de la luz no es siempre la misma sino que hay una pequeña amplitud de probabilidad de que ésta sea mayor o menor que c. Claro, que supongo que esta diferencia no está en absoluto relacionada con la frecuencia.

Otro asunto es que la influencia de la equivalencia de masa de la luz es despreciable para un solo fotón y por tanto es probablemente irrelevante el cálculo anterior, pero posiblemente no sea tan irrelevante cuando tenemos una gran cantidad de fotones, o sea que cuando tenemos una luz intensa en extremo podría hacer que la curvatura del espacio-tiempo pudiera sufrir cierta deformación, especialmente a altas energías.

I've got stuck on one of my typical questions and though I tried to squeeze the idea, I can’t get out successfully from a vicious cycle. For that and other reasons I’ve been a while without writing here. But hell! Isn’t this bullshit about Cosmological Doubts? Well, here goes my question.

The energy of a photon with a frequency f is:

E = h f

And every energy is equivalent to a mass by:

E = m c²

Then, although a photon has no mass, its energy has an effect through that equivalence as if it had a mass:

m = h f / c²

My question is how can a photon reach the speed in a vacuum (c) instantly. It’s OK if we accept that its mass is zero and the energy is transported in wave form, but if we consider the equivalence above we’ll have to consider a non-infinite acceleration and depending on the frequency of the light, therefore on its energy, it would take a different time to reach that speed, and if we take into account that an accelerated object can’t reach this speed but asymptotically, how is it possible? Of course, it is also absurd to consider that the speed of light can’t be reached by light itself.

But there is more, given that according to QED, the speed of light may not always be the same but there is a small probability amplitude of being higher or lower than c. Of course, I suppose that this difference is not at all related to frequency.

Another issue is that the influence of the mass equivalence for the light is negligible for a single photon and therefore the previous calculation is probably irrelevant, but possibly not as irrelevant when we have a large number of photons, or when we have an extremely intense light that could make the spacetime curvature suffer some deformation, especially at high energies.

El curioso caso de EPR y ER The curious case of EPR and ER

Me he encontrado con una cuestión que me ha dejado perplejo. He estado leyendo en los últimos tiempos algo sobre mecánica cuántica (para desinformados como yo, claro) y, reflexionando sobre el enmarañamiento cuántico, estuve dándole vueltas al experimento EPR. Para quien no sepa de qué va, explicaré a grandes rasgos que se trata de un experimento mental que desarrollaron Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen (de ahí el nombre, EPR) para ver las consecuencias desastrosas que ciertas nociones de la MC podían tener en conflicto con la física macroscópica, como es la no localidad en este tipo de fenómenos. Consistía en que si dos partículas en enmarañamiento cuántico se separan una gran distancia y medimos alguna propiedad en alguna de ellas, instantáneamente conoceremos el estado de la otra partícula, aunque tal información no hubiera podido ser transmitida al tener que viajar más rápido que la luz, lo cual podría producir una violación de la causalidad, asunto primordial en la Relatividad.

Pues bien, según le di vueltas al asunto, se me ocurrió que la manera de combinar este fenómeno cuántico con la Relatividad, podría considerarse que aunque las partículas se separasen, al producirse el enmarañamiento  podría considerarse que los dos puntos donde se encuentren las partículas estarían conectados causalmente como un único punto topológico. Y se me ocurrió que el espacio-tiempo que mediara entre ambos se vería desde un punto de vista externo como si estuviera estirado uniendo las partículas. De ahí vi que la posible solución sería que estuvieran unidos por un agujero de gusano, o puente de Einstein-Rosen. ¡Un momento!, me dije, ¿Un puente de Einstein-Rosen, como solución de la paradoja EPR? A ver si ellos ya lo habían visto…

Me parecía demasiado evidente que si los físicos que habían definido los dos temas que yo estaba relacionando directamente eran los mismos (que lo eran, claro), ¿no habrían propuesto esa solución y que yo no me hubiera enterado cuando había leído sobre estos temas? Investigué a ver si estaban relacionados pero no he encontrado nada. ¿Y cómo es posible que no lo hicieran? Fácil. Ellos no creían en la no localidad de la MC y buscaron una paradoja para refutar las consecuencias indeseadas de la MC. No deseaban una solución al problema, sino crear ese problema para que no se pudiera solucionar. Lo que también me parece curioso es que ambos resultados son del mismo año (1935).

Y dispuestos a retorcerle el brazo a la Naturaleza se me ha ocurrido un experimento a ver qué podría salir de él. A lo mejor ya se ha hecho, pero me hace ilusión que se me haya ocurrido a mí solito (o aunque probablemente sea una chorrada). Imaginemos que tenemos dos fotones enmarañados que se separan (obviamente) a la velocidad de la luz en direcciones opuestas. Y ahora hacemos el famoso experimento de la doble rendija en uno de ellos y en el otro no. ¿Se produciría una interferencia en el fotón al que no sometemos al paso por las rendijas? Si alguien tiene una idea de qué pasaría lo invito a dejar un comentario.

I have found a question that has puzzled me. I've been reading recently about quantum mechanics [QM] (for uninformed people like me, of course) and thinking about quantum entanglement, I began to mull over the EPR experiment. For those who don't know about it, I will explain it (in broad terms). It is a thought experiment developed by Albert Einstein, Boris Podolsky and Nathan Rosen (hence the name, EPR) to show the disastrous consequences that certain notions of the QM could get in conflict with the macroscopic physics, as it is the no locality in this type of phenomena. If two particles in quantum entanglement get separated a great distance and we measure any property in any of them, the complementary state of the other particle will be known instantly, although such information had not been able to be transmitted unless it travels faster than light, which may cause a causality violation, primordial in Relativity.

Well, as I considered the topic, it occurred to me that the way of combining this quantum phenomenon with relativity, could be that although the particles get separated, when entanglement occurs it could be considered that the two points where the particles are located would be connected causally as a unique topological point. And I wondered if that space-time that mediate between the two would be from an external point of view as if it were stretched connecting the particles. There I saw that the possible solution could be that they were connected by a wormhole, or Einstein-Rosen Bridge. Wait!, I told myself, an Einstein-Rosen Bridge as a solution of the EPR paradox? Wouldn’t they have seen it yet...?

It seemed to me too obvious that if those were the same physicists who had defined the two subjects that I was relating directly (they were, of course), wouldn’t they have proposed this solution and I hadn’t realized about it when I had read about these issues? I tried to find out if they were related, but I have not found anything. And how it is possible not to do it? Easy. They did not believe in non-locality of the QM and they sought a paradox to refute the unwanted consequences of the QM. They did not want a solution to the problem, but to create the problem so it could not be solved. It’s also a curious thing to me that both issues are from the same year (1935)

And willing to twist Nature’s arm, I have imagined an experiment to see what could come out of it. Maybe it’s already been done, but it would make me happy if it occurred to me alone (although it probably is only bullshit). Let's imagine that we have two entangled photons separating at the speed of light (obviously) in opposite directions. And now we perform the famous double slit experiment on one of them but not on the other. Would there be interference in the photon that doesn’t go through the slits? If anyone has an idea of what could happen I invite you to leave a comment.