Al Límite To the limit

 

Una de las cosas que hacen que la relatividad general (RG) y la mecánica cuántica (MC) estén en desacuerdo es la manera de ver el tiempo que tienen cada una de las dos teorías. Con el descaro que me caracteriza, voy a utilizar las diferentes formas que tienen cada una de ellas para intentar encontrar un nexo entre ellas y, de paso, aprovecharlo para meter mi visión de la cosmología como consecuencia de esta unión.

Comenzando por la MC, hay una interpretación que da la electrodinámica cuántica que es muy curiosa. Según esta teoría, la antimateria se puede considerar como materia que “viaja” hacia atrás en el tiempo. Por otro lado, según la visión de la RG, se puede considerar que la luz solo se desplaza a tiempo constante. Con todos estos datos podemos dividir el estado de una partícula en su línea de universo según se desplace en el tiempo. Si se desplaza en tiempos crecientes es materia, si lo hace en tiempos decrecientes es antimateria y si su tiempo es constante, tenemos luz.

Ahora consideremos un modelo como el que se ha propuesto en las anteriores entradas en las que el universo se curva en su dimensión temporal hasta cerrarse. No nos importan ahora los detalles concretos sobre la geometría de las componentes espaciales del modelo, solamente que de alguna forma el tiempo se curva hasta cerrarse. Para facilitar entonces la comprensión de la idea, supongamos que el tiempo describe una curva en forma de circunferencia. Para cada instante temporal, podemos encontrar que existe un instante, futuro o pasado en el que el tiempo nos parece que viaja en sentido contario en su camino hasta cerrarse. Desde este punto de vista, lo que encontramos, por así decirlo al otro lado del tiempo, es un universo compuesto mayoritariamente de antimateria. También existen dos momentos particulares en los que parece que las partículas que componen el universo se desplazan perpendicularmente. En estos instantes podemos identificarlas como que todo se compone de luz.

Para hacerlo más fácil lo mostraremos con un dibujo.

One of the things that quantum mechanics (QM) and general relativity (GR) disagree is the way each theory see time. Boldly as usual, I'm going to use the different ways each of them do, to try to find a link between them and, incidentally, take advantage of it to show my vision of cosmology as a result of this union.

Starting with QM, there is an interpretation given by quantum electrodynamics which is very curious. According to this theory, antimatter can be considered as conventional matter "traveling" back in time. On the other hand, according to the GR vision, one can consider that light only moves at a constant time. With all this data we can divide the state of a particle in its line of universe according to how it moves in time. If it moves through growing times it is matter, doing so in declining times is antimatter and if its time is constant, we have light.

Now let’s consider a model such as that proposed in previous posts in which the universe is curved in its time dimension to get closed. It doesn’t matter to us now the concrete details about the geometry of the spatial components of the model, only that somehow the time curves until it gets closed. To make the idea easier to understand, let’s suppose that time describes a circumference. For each instant, we can find a moment, past or future, in which time seems to be travelling opposite to us on its way to closing. From this point of view, what we find, so to speak, on the other side of time, is a universe composed mostly of antimatter. There are two particular moments in which it seems that the particles that compose the universe move at right angles. At those moments we can identify them as if everything were made up of light.

To make it easier to see, I’ll show it with a drawing:

La línea verde con flechas representa el tiempo. Como se puede ver, en un instante determinado, nos vemos en el punto en el que se ha señalado como MAT, en el que el universo está compuesto mayoritariamente de materia, en el punto diametralmente opuesto (MAT) compuesto de antimateria y dos instantes situados a 90 grados, donde los percibimos como luz (LP luz del pasado y LF luz del futuro).

Pero lo que considero más interesante es que toda esta visión es solo un espejismo. La realidad es que en todos los momentos individuales tenemos la misma visión. Solo es una cuestión de perspectiva. Siempre, estemos en el momento que estemos, consideramos lo que nos rodea como constituido por materia ordinaria, y los otros puntos determinados como antimateria o como luz.

Quiero destacar que en el gráfico anterior he representado los instantes particulares del espacio como esferas indicando que también el espacio se curvaría sobre sí mismo hasta cerrarse. Por supuesto, en este gráfico también tenemos que considerar que el espacio estaría representado solo por la superficie de las esferas, habiendo tenido que prescindir de una dimensión para poder visualizarlo tridimensionalmente.

También quiero llamar la atención sobre la luz que aparentemente vendría del pasado. Hay que recordar que cuanto más lejos miramos en el espacio, vemos más atrás en el tiempo. De esta forma, podemos encontrar una distancia a la que nos parezca que el universo está compuesto de luz, en este caso, la representada en el gráfico con la esfera LP.

Intencionadamente la he representado de un color rojizo y hago una suposición por la que la luz del futuro tendría una coloración desviada hacia el azul. Claro, que este extremo es de momento imposible de asegurar dado que no somos capaces de ver hacia el futuro, o sea, hacia delante en la línea temporal. No quiero de momento hacer conjeturas sobre la causa de estas derivas en frecuencia de la luz recibida, pero podría estar relacionada, como expliqué en alguna entrada anterior, con la propia deformación de la luz debida a la propia curvatura del tiempo.

The green line with arrows represents the time. As you can see, at a given moment, we are at the point marked as MAT, in which the universe is composed mostly of matter, on the opposite point (MAT) composed of antimatter and two instants located at 90 degrees , where we perceive them as light (LP light from the past and LF light from the future).

But what I consider more interesting is that all this vision is only a mirage. The reality is that we have the same view in every single moment. It is only a matter of perspective. Always, no matter the moment we are in, we consider what surrounds us as composed of ordinary matter, and the other points as antimatter or light.

I would like to point out that, in the picture above, I have represented every space graphs as spheres, indicating that the space would also warp over itself until getting closed. Of course, in this graph we also have to consider that the space would be represented only by the surface of the spheres, in the need to suppress a dimension to be able to view it in 3D.

I also want to draw your attention to the light which apparently would come from the past. We must remember that the further we look into space, the further we see back in time. In this way, we can find a distance that seems to us as if the universe is composed of light, in this case represented in the graph with the LP sphere. I have intentionally represented it in a reddish color and I’ll make an assumption that the light from the future would have a blue-shifted coloration. Of course, this end is currently impossible to know since we are not able to see into the future, or forward on the timeline.

I don't want to speculate at the moment on the cause of these shifts in frequency of the incoming light, but it could be related, as I explained in a previous post, with the light distortion due to the extreme warping of time.

Pongamos un poco de orden Let’s put some order

Después de un largo parón he decidido que tengo que salir de un bloqueo de lo más tonto. Todo empezó con una idea sugerente que debía madurar antes de publicarla. Luego, una cosa me llevó a otra y surgieron otras ideas interesantes, pero que ponían algo en dificultad la idea primitiva. ¿El resultado? Pues que no resolví el primer tema y me quedé atascado en el segundo. Típico en mí. Así que he considerado que la mejor manera es volver a comenzar desde un principio y poner un poco de orden en ciertas ideas inconexas que no han quedado explicadas a mi gusto.

Así que empezaré con un análisis de cosas que se han quedado cojeando e intentaré corregir algo los conceptos que se necesitan para desarrollar las nuevas ideas que seguirán a continuación. Pero calma, como siempre, iremos poco a poco.

En la entrada Ecuaciones para un universo, en la que calculaba unas posibles ecuaciones para la geometría espacio-temporal del universo, creo que me quedé corto. Lo empecé a ver claro cuando intenté explicarlo gráficamente en la entrada ¿Problemas de visualización? Para ello empleé un diagrama de inmersión en el que se reducían las dimensiones para ser capaces de visualizar tridimensionalmente un modelo del universo donde se pudiera apreciar la dimensión de carácter temporal. Pero no me di cuenta al desarrollar las ecuaciones que cuando representé un universo que se curva espacialmente hasta cerrarse, tiene que hacerlo dentro de una dimensión adicional. Por eso, al dibujar el toro que representaba mi modelo, en cada instante de tiempo todo el espacio está representado por una circunferencia. Y eso significa que en ese instante todo el espacio está representado por una curva monodimensional curvada en una dimensión superior. También, aunque ya contaba con que en un diagrama de inmersión se perdía alguna de las dimensiones, en realidad estaba perdiendo dos. Por ello las ecuaciones del hipertoro de cuatro dimensiones no son suficientes para representar el universo, sino que necesitamos cinco dimensiones. Podemos proceder como hemos hecho hasta ahora, dando una vuelta más de tuerca:

x = (R + r cos φ) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cos φ) cos θ cos δ sen ζ
z = (R + r cos φ) cos θ sen δ
w= (R + r cos φ) sen θ
v = r sen φ

Si volvemos a hacer φ = ict

x = (R + r cos ict) cos θ cos δ cos ζ
 y = (R + r cos ict) cos θ cos δ sen ζ
 z = (R + r cos ict) cos θ sen δ
w= (R + r cos ict) sen θ
v = r sen ict

y recordamos que en la entrada anterior dedujimos que:

cos ict =  cosh ct
sen ict =  i senh ct

Por lo que definitivamente tenemos:

x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cosh ct) cos θ cos δ sen ζ
z = (R + r cosh ct) cos θ sen δ
w= (R + r cosh ct) sen θ
v = i r senh ct

No considero que se gane mucha comprensión sobre la física de este modelo, pero al menos, creo que las ecuaciones son más correctas que en el modelo anterior.

Pero realmente no era esto lo que más me preocupa, sino una interpretación más física que matemática. Pero eso lo dejaré para la siguiente entrada.
 

After a long break I have decided that I must get free from a silly mental block. It all started with a suggestive idea that I had to mature before publishing it. Then one thing led to another and other interesting ideas emerged, but that complicated somehow the primitive idea. The result? Well, I didn’t solve the first issue, and I was stuck in the second. Typical in me. So I have considered that the best way is to start from the beginning and put some order into some unconnected ideas that I don’t feel happy how they were explained.

So I will begin with an analysis of things that are quite lame and I will try to correct some concepts that are needed to develop new ideas that will then follow. But keep calm, as always, we’ll go step by step.

In the post Equations for a universe, in which a possible set of equations for the space-time geometry of the universe was deduced, I think that I fell short. I realized about it when I tried to explain it graphically in the post Visualizing problems? For that purpose I used an embedding diagram in which the dimensions were reduced to be able to visualize the time dimension in a three-dimensional graph. But when the equations were deduced I didn't realize that the model represented a universe spatially closed and, to do so, it should have needed an additional dimension. So, in the torus representing my model, for every single moment of time, all the space is inside a circumference. That means that for every moment the entire space is represented in a monodimensional curve inside two dimensions space. Therefore although I had considered that in an embedding diagram a dimension can be lost, I was actually losing two. And so the 4D hipertorus equations are not sufficient to represent the universe, but we need five dimensions. We can proceed as we did until now, going one step forward:

x = (R + r cos φ) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cos φ) cos θ cos δ sin ζ
z = (R + r cos φ) cos θ sin δ
w= (R + r cos φ) sin θ
v = r sin φ

And again, if we let φ = ict

x = (R + r cos ict) cos θ cos δ cos ζ
 y = (R + r cos ict) cos θ cos δ sin ζ
 z = (R + r cos ict) cos θ sin δ
w= (R + r cos ict) sin θ
v = r sin ict

And remembering from the previous post, we deduced:

cos ict =  cosh ct
sin ict =  i sinh ct

So, we finally have:

x = (R + r cosh ct) cos θ cos δ cos ζ
y = (R + r cosh ct) cos θ cos δ sin ζ
z = (R + r cosh ct) cos θ sin δ
w= (R + r cosh ct) sin θ
v = i r sinh ct

I don’t think that much understanding of the physics of this model is achieved, but at least, I think that the equations are more correct than in the previous model.

However this wasn't really what concerned me most, but a more physical than mathematical interpretation. But I will leave that for the next post.
 

¿Problemas de visualización? Visualization problems?

Tal vez me he pasado un poco en la entrada Ecuaciones para un universo con una ración muy cruda de matemáticas y sin ninguna figurita para ayudar a digerirla. Podría argumentar que no son matemáticas muy complicadas, pero la verdad es que se me pasó por completo. No pasa nada, porque ahora, al intentar dar una pequeña interpretación física, me basaré en la figura que abre esta entrada para ver las consecuencias de las ecuaciones y poder visualizar un poco mejor los conceptos que he descrito.

Para empezar, creo que, sin imágenes, lo que puede ser más difícil de visualizar en las ecuaciones finales es el uso de las funciones hiperbólicas, pero esto no debe acobardar nuestra mente euclidiana (aunque haya quien se crea que por comprender bien otras geometrías no euclidianas es capaz de visualizarlo sin problemas), porque como hemos visto en la demostración, las ecuaciones paramétricas se combinaban en la ecuación implícita de un hipertoro 4D. No importa cómo sea la forma aparente de las componentes paramétricas. Lo importante es la combinación de todas las componentes. De todas formas recordaré que podemos escribir cualquier conjunto de posibles ecuaciones paramétricas que representen una misma función implícita, la cual sí que es única. La elección de este conjunto particular que he escrito es debido a que se puede desarrollar matemáticamente para llegar a resultados interesantes y luego interpretarlo físicamente de una forma algo más intuitiva.

Sea como sea, el problema de visualización es independiente de las ecuaciones que escribamos, ya que nuestra incapacidad viene de que no podemos ver cuatro o más dimensiones sin acudir a los trucos habituales. Y, claro, el truco más usado es el de los diagramas de inmersión, donde acudimos a un modelo con menos dimensiones, explicamos los conceptos que se intentan mostrar y luego decimos que es lo mismo, pero con una dimensión más.

En la figura del inicio ya estamos aplicando la inmersión con la supresión de la variable δ.

Así que, en el caso que tenemos entre manos, podemos reescribir las ecuaciones con una dimensión menos y ver a dónde nos llevan. En estos casos no tenemos que preocuparnos por la visualización porque tendremos el toro 3D que aparece en la figura, sólo que con una de las dimensiones en el eje imaginario de los números complejos. Y en este sentido, aunque parezca que me repito demasiado, vuelvo a recordar el concepto de tiempo como una componente imaginaria en nuestro espacio-tiempo de cuatro dimensiones (o más, pero no vamos a liar más el tema por ahora).

Otra cosa importante que debemos tener en cuenta es que es la superficie y no el volumen lo que tiene un significado físico de geometría del universo.

Modelo 1 (φ=ict):

x = (R + r cosh ct) cos θ
y = (R + r cosh ct) sen θ
z = i r senh ct

En la figura de la entrada, el ángulo que hemos llamado φ representaría la dimensión temporal. Digamos que en la evolución de este esquema vemos que tanto la geometría espacial como la temporal no son estáticas, sino que cambian según transcurre el tiempo y todas ellas se van curvando (el tiempo también) hasta que acaban cerrándose.

Hay un caso particularmente interesante que es aquel en el que R = r, donde vemos que para t = 0 el espacio está comprimido en un solo punto, algo vagamente parecido a un modelo tipo Big Bang, seguido de un Big Crunch.

Además podemos ver una expansión al principio (en el primer cuadrante) aparentemente acelerada.

Modelo 2 (θ=ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
z = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ

Lo que vemos aquí es que la geometría puramente espacial permanece invariable y es el tiempo el único que se cierra. Parece un modelo bastante más aburrido que el primero, aunque al principio era el que más me atraía. Quiero resaltar que aunque cada sección circular del modelo representa el espacio en un determinado instante, el espacio sigue siendo cerrado, ya que en tales secciones lo que consideramos no es una superficie circular sino la circunferencia. Así, como expliqué en entradas anteriores, si avanzamos en cualquier dirección espacial podremos aparecer por el otro lado.

Podría parecer que este modelo no es válido porque no predice ninguna expansión como en el Big Bang, pero como ya expliqué en anteriores entradas, no hay que tener excesivas prisas en descartarlo porque las observaciones cosmológicas podrían ser explicadas de forma distinta de la convencional.

Sin embargo, en el proceso de deducción de las ecuaciones, este modelo perdió fuerza para mí porque, aunque en un instante dado (en una rodaja del donut) las componentes espaciales parecen ser bastante homogéneas, tengo la impresión de que debería haber efectos medibles de la curvatura temporal sobre la luz ya que dicha curvatura no sería igual en toda la geometría del toroide (la curvatura temporal en el interior del toro es más acusada que en el lado de fuera) y creo que este efecto debería ser detectable en la radiación cósmica de fondo.

Modelo 3 (δ = ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
y = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ

No tiene mucho sentido poner otra figura, porque las ecuaciones y su interpretación física son iguales que en el Modelo 2. Digamos que se puede considerar el mismo modelo pero “girado” 90 grados.

Como se puede observar, en cada modelo de inmersión he prescindido de componentes diferentes, pero aunque en 2 y 3 aparece la extraña w, a la hora de analizar un modelo de tres dimensiones no importa cómo se llama cada una de las componentes.

La objeción más importante que se puede hacer a estos modelos es cómo pueden encajar las observaciones cosmológicas en estos esquemas, tales como la radiación cósmica de fondo, el desplazamiento al rojo de las líneas espectrales y otras pruebas en favor de los modelos de mayor aceptación por los que saben. Creo que algunas posibles salidas más o menos afortunadas (he de reconocer que menos) están bosquejadas en las entradas anteriores, especialmente en Principios(3). Tal vez más delante daré una descripción más detallada sobre este tema.

In the post Equations for a universe I may have gone too far with a very raw mathematics dose and without any picture to help digest it. I could argument that the implied maths aren’t very complicated, but to say the truth I unintentionally skipped it completely. It doesn’t matter, because now, trying to give it a small physical interpretation, I’ll try to explain it using this post’s opening picture to see the consequences of the equations and to be able to visualize a little better the concepts I have described.

To begin, I believe that the most difficult thing to visualize in the final equations is the use of hyperbolic functions, but this should not intimidate our Euclidean mind (although there are people who believe they can visualize without problem non Euclidean geometries by understanding them well), because as we have seen in the demonstration, the parametric equations are combined in the implicit equation of a 4D hypertorus. The apparent shape of the parametric components doesn’t matter. The important thing is the combination of all the components. Anyway, I'll remember that we can write any set of possible parametric equations representing the same implicit function, which is unique. The choice of this particular set I have written is because they can be mathematically developed to arrive to interesting results and then interpret them physically in a more intuitive way.

Whatever it is, the visualization problem is independent of the equations we write, since our inability comes from the fact that we cannot see four or more dimensions without resorting to the usual tricks. And of course, the most widely used trick is the use of immersion diagrams, where we study a model with less dimensions, we explain the concepts we are trying to show and then we say that it is the same, but with more dimensions.

In the opening picture we are already applied immersion with the elimination of the variable δ.

So, in the case we are considering, we can rewrite the equations with one dimension less and see where it takes us. In these cases you don't have to worry about the visualization because we will have the 3D torus displayed in the figure, but with one of the dimensions in the imaginary axis of the complex numbers. And in this sense, although it seems that I repeat too much, I remember again the concept of time as an imaginary component in our four-dimensional space-time (or more than four, but I don’t want to mess with this topic for now).

Another thing we have to consider is that the Surface and not the volume is what has a physical meaning concerning the universe geometry.

Model 1 (φ=ict):

x = (R + r cosh ct) cos θ
y = (R + r cosh ct) sin θ
z = i r sinh ct

In the initial picture the angle called φ would represent the time dimension. As we can see in this model the space and time dimensions aren’t static, but they change and all of them are curving (time as well) until they finally close.

There is a particularly interesting case in which R = r, where we see that for t = 0 space is compressed into a single point, something vaguely resembling a Big Bang model, followed by a Big Crunch.

We can also see a seemingly accelerated expansion at the beginning (in the first quadrant).

Model 2 (θ=ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
z = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ

What we see here is that the purely spatial geometry remains unchanged and time is the only one that closes. It seems rather more boring than the first model, although at the beginning it was the one that attracted me most. I want to emphasize that although each circular section of the model accounts for space at a given moment, the space remains closed, since in such sections what we consider is not a circular surface but a circumference. So, as I explained in previous posts, if we move forward in any spatial direction we appear on the other side.

This model might seem not valid because it does not predict any expansion as seen in the conventional Big Bang model, but, as I already explained in previous posts, we should not discard it so quickly because cosmological observations could be explained in other ways different from the conventional ones.

However, in the equations deduction process, this model lost force for me because even if at a given moment (in a slice of the doughnut) the spatial components seem to be fairly homogeneous, I have the impression that the physical effects of time light-bending would not be the same everywhere along the torus (the temporal curvature on the inside is more accentuated than in the outside) and I think that this effect should be detectable in the form of variations in the cosmic radiation background.

Model 3 (δ = ict):

x = (R + r cos φ) cosh ct
y = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ

Another picture here doesn't make much sense, because the equations and their physical interpretation are the same than in model 2. Let's say that the same model can be considered but "rotated" 90 degrees.

As you can see, in each immersion model I've disregarded different components, but although the weird w appears in 2 and 3, when analyzing a three-dimensional model it doesn’t matter how each of the components is called.

The most important objection that can be made to these models is how to account for the cosmological observations in these schemes, such as the cosmic background, spectral lines redshift and other evidence for the models of greater acceptance for those who know. I think that some possible alternative solutions, more or less fortunate (less, I must admit), are sketched in the previous posts, especially in Principles(3). Perhaps I will later give a more detailed description about this topic.

Siempre tarde... Always late...

Hay veces que creo que la mayoría de las cosas que se me ocurren solo son basura por muy claras que aparezcan en mi cabeza. Tanto más en las ocasiones en las que hasta a mí me resultan descabelladas. Pero lo más gracioso es que a veces la realidad me sorprende hasta límites insospechados.

En mi entrada “El curioso caso de EPR y ER” comenté una idea que me pareció curiosa pero que aunque la veía bastante clara, no habría dado un chavo por defenderla en serio delante de alguien que tenga los conocimientos básicos para entender la idea y mucho menos ante alguien que entienda el tema de verdad.

Y hace unos días me entero de que la idea que un desinformado ignorante como yo ya había sido propuesta en forma de conjetura por dos grandes físicos (claro, que la forma en que ellos la han propuesto tiene mucho más fundamento que la pobre y chapucera explicación que yo di). Esa conjetura es la de Maldacena – Susskind, que incluso tiene una entrada en la Wikipedia como ER=EPR (hasta la fecha de publicación de esta entrada, solo está en inglés).

Cuando leí sobre el tema averigüé cuándo había sido propuesta y descubrí que llegué tarde por un año.

Ahora podría decir alguien: “Sí, claro, coge una idea rara de unos tipos geniales, se la apropia como suya y luego dice que es que ha llegado tarde…”. Bueno, que cada cual que crea lo que quiera.

Sometimes I think that most of my bright ideas are only rubbish, no matter how clear they appear in my mind. Even more when I think of them as misbegotten. But the funny thing is that sometimes reality surprises me to the absolute limits.

In my post "The curious case of EPR and ER" I mentioned an idea that seemed curious to me but although it saw it rather clear, I would have not given a cent for defending it seriously in front of someone who has basic knowledge to understand the idea, much less to someone who truly knows about the issue.

And a few days ago I find out that the same idea that an uninformed ignorant like me, had already been proposed in the form of conjecture by two great physicists (of course, the way in which they have proposed it is far more rationale than the poor and sloppy explanation I gave). This is the Maldacena – Susskind conjecture, which even has an entry on Wikipedia as ER = EPR.

When I read about the subject I found out when it had been proposed and I was late for a year.

Now someone can tell: "Yes, of course, he takes a strange idea from some great guys, he makes it as his own and then he says that he is late... ". Well, everyone can believe whatever they want.

Ecuaciones para un universo Equations for a universe

Hace tiempo sometí mis ideas sobre el Universo a la persona que me sirve de víctima escuchando mis desvaríos antes de decidirme a publicar algo. Prestando aparentemente atención me dijo: “Ahora lo que tendrías que hacer es ponerlo en forma de ecuaciones”. He de confesar que al principio me dejó chafado, pero con el tiempo me dije que podría darle una vuelta al tema. Tras bastante tiempo meditando fueron apareciendo poco a poco algunos flashes de cómo podría enfocar el problema y al final me lancé a emborronar algo sencillo pero que puede expresar mis ideas de forma matemática. También debo admitir que en el transcurso del desarrollo de las ecuaciones mi visualización previa del tema ha cambiado levemente, aunque todo lo dicho en otras entradas anteriores no ha variado nada.

No es mi costumbre pero explicaré de forma algo tediosa, paso a paso, algunas de las deducciones de las ecuaciones que voy a escribir sobre todo para aquellos que se asustan fácilmente con las matemáticas y para aquellos que, como yo, tengan muchos de estos conceptos bastante olvidados y se encuentren algo oxidados. Mi razón para hacerlo así es que hubiera sido demasiado fácil buscar las ecuaciones en cualquier sitio y de ahí buscar sus implicaciones. Pero yo preferí hacer la deducción de manera casera-chapucera, con lo que me he divertido mucho más y a fin de cuentas mi confianza en mis propias habilidades ha crecido y me puede ayudar a tener una visión más clara de lo que al final pretendo deducir.

Sin más preámbulos, vamos a empezar.

La manera más simple de definir un espacio-tiempo cerrado en tiempo y espacio sería una hiperesfera en cuatro dimensiones en la que el tiempo sería una de esas cuatro dimensiones y las otras tres serían las dimensiones espaciales. Hasta donde yo he investigado (la verdad, no mucho) no he encontrado publicadas ecuaciones sencillas de este tipo, así que las deduciremos de forma sencilla.

Partiremos de la ecuación de una esfera e introduciremos una dimensión extra:

• Esfera 3D:

Ecuación implícita:

x² + y² + z² = R²

Paramétrica:

x = R cos θ cos φ
y = R cos θ sen φ
z = R sen θ

• Hiperesfera 4D:

Ecuación implícita:

x² + y² + z² + w² = R²

Paramétrica:

x = R cos θ cos φ cos δ
y = R cos θ cos φ sen δ
z = R cos θ sen φ
w = R sen θ

Como ya expresé en alguna entrada anterior, mi idea de la coordenada temporal es la que propuso Minkowski en la interpretación de la geometría de 4 dimensiones para la Relatividad especial, definiendo las coordenadas de la forma (x,y,z,ict), siendo i la parte imaginaria de los números complejos y c la velocidad de la luz en el vacío.

Para no repetirme tediosamente en una etapa posterior, dejaré como ejercicio para quien esté interesado, la interpretación de las variables que podrían representar el tiempo en esta expresión.

Sin embargo este modelo tiene un gran defecto, la curvatura global de este modelo es positiva y parece ser que el Universo en el que estamos tiene una curvatura plana.

Una de las ideas que goza de bastante popularidad (aunque no he visto ecuaciones sencillas) es que la geometría del Universo podría ser un hipertoro 4D (curvatura plana).

Para verlo partiremos de la ecuación de un toro 3D.

Ecuaciones paramétricas:

x = (R + r cos φ) cos θ
y = (R + r cos φ) sen θ
z = r sen φ

Ecuación implícita:

(R - x² + y² )² + z ² = r ²

Si extrapolamos con una dimensión adicional tendremos un hipertoro 4D:

Ecuaciones paramétricas:

x = (R + r cos φ) cos θ cos δ
y = (R + r cos φ) cos θ sen δ
z = (R + r cos φ) sen θ
w = r sen φ

Ecuación implícita:

(R - x² + y² + z² )²+ w ² = r ²

Tanto en la hiperesfera 4D como en este hipertoro 4D aparece un nuevo ángulo δ que no somos capaces de visualizar en nuestra mente tridimensional pero de momento no nos vamos a preocupar por la visualización.

Lo tentador sería que la cuarta dimensión sea w= ict para introducir un tiempo “a la Minkowski”.

NOTA: Para presentarlo de manera más formal, voy a usar a partir de ahora una notación más acorde con la que se usa en geometrías curvas, introduciendo los superíndices para las coordenadas y, aunque pueda parecer lioso, también cambiaré δ por φ para hacer una presentación de resultados más familiar. Se trata solo de un cambio estético; el resultado que quiero resaltar permanece intacto.

Entonces:

ict = r sen φ

r cos φ = r² – (ict)² = r² + (ct)²

Tenemos pues:

x ⁰ = ict

x ¹ = (R + r² + (ct)² )cos θ cos φ
x ² = (R + r² + (ct)² ) cos θ sen φ
x ³ = (R + r² + (ct)² )sen θ


Tiene buena pinta, con tres dimensiones reales (puramente espaciales) y una compleja (temporal).

Deducimos la ecuación implícita:

(x ¹) ² + (x ²) ² = (R + r² + (ct)² )² cos ² θ
(x ¹) ² + (x ²) ² + (x ³) ² = (R + r² + (ct)² ) ²
(x ⁰) ² = -(ct) ²

Entonces: (x ¹) ² + (x ²) ² + (x ³) ² = (R + r² - (x⁰)² ²

Que es lo mismo que: (R - (x¹)² + (x²)² + (x³)² ) ² + (x ⁰) ² = r ², la ecuación que teníamos antes de un hipertoro 4D.

Pero no me satisface porque la encuentro demasiado euclidiana y no añade gran cosa a lo que ya teníamos porque el tiempo sigue siendo abierto, cuando he defendido la idea sobre un tiempo cerrado.

Para explicar un universo donde el tiempo sea cerrado podemos hacer que una de las variables angulares sea la que defina el tiempo. Así podríamos hacer que θ = ict o que δ = ict, pero introduciría tres dimensiones con componentes temporales y una espacial, lo que complicaría las cosas. Creo que la mejor solución es parecida a la que acabamos de deducir, pero en lugar de considerar ict = r sen φ, hacemos directamente ict = φ.

Así, tendríamos en definitiva:

x ⁰ = r sen ict
x ¹ = (R + r cos ict) cos θ cos φ
x ² = (R + r cos ict) cos θ sen φ
x ³ = (R + r cos ict) sen θ

Podría parecer que estamos en un callejón sin salida, con cuatro componentes imaginarias. Pero no me voy a rendir tan pronto y vamos a manipular las ecuaciones para ver si podemos encontrar una salida satisfactoria.

Si recordamos la fórmula de Euler:

e^iα = cos α + i sen α

De donde podemos expresar las funciones trigonométricas como:

cos α = (e^iα + e^-iα) / 2
sen α = = (e^iα - e^-iα) / (2 i)

Recordamos también las funciones hiperbólicas:

cosh α = (e^α + e^-α) / 2
senh α = (e^α - e^-α) / 2

Entonces, como i² = -1 y además - i = 1 / i:

cos ict = (e^i(ict) + e^-i(ict)) / 2 = (e^-ct + e^ct) / 2 = cosh ct
sen ict = (e^i(ict) - e^-i(ict)) / (2i) = (e^-ct - e^ct) / (2i) = - (senh ct) / i = i senh ct

Por lo que tenemos finalmente:

x ⁰ = i r senh ct
x ¹ = (R + r cosh ct) cos θ cos φ
x ² = (R + r cosh ct) cos θ sen φ
x ³ = (R + r cosh ct) sen θ

Donde vemos que tenemos tres dimensiones puramente espaciales (aunque dependan de t, solo tiene componentes reales) y una de tipo temporal (componente imaginaria).

Ahora veremos si hemos hecho bien los cálculos y la ecuación sigue correspondiendo a un hipertoro 4D:

(x ⁰)² = - r² senh² ct
(x ¹)² = (R + r cosh ct)² cos² θ cos² φ
(x ²)² = (R + r cosh ct)² cos² θ sen² φ
(x ³)² = (R + r cosh ct)² sen² θ

(x ¹)² + (x ²)² = (R + r cosh ct)² cos² θ
(x ¹)² + (x ²)² + (x ³)²= (R + r cosh ct)²

r cosh² ct = r (1 + senh² ct) = r² – (x ⁰)²
cosh ct = (r²-(x⁰)²)<br>
(x ¹)² + (x ²)² + (x ³)² = (R + <br>(r² - w²) )²

Y así es.


Actualización 2016-01-06:

He cometido un error por no pensar las cosas despacio antes de escribir. Ya lo decía el proverbio turco: “Mide mil veces pero corta solo una vez”.

Cuando escribí: “podríamos hacer que θ = ict o que δ = ict, pero introduciría tres dimensiones con componentes temporales y una espacial, lo que complicaría las cosas”, no me di cuenta que la misma manipulación que hice con el ángulo φ para conseguir una sola dimensión imaginaria y tres reales se puede hacer de idéntica manera con cualquiera de las variables angulares con el mismo resultado, aunque tendría distintas interpretaciones físicas.

Por tanto, sin entrar en detalles innecesarios en el desarrollo, tendríamos dos sistemas de ecuaciones paramétricas alternativas a la que hemos visto antes:

1) Para θ = ict:

x = (R + r cos φ) cosh ct cos δ
y = (R + r cos φ) cosh ct sen δ
z = i (R + r cos φ) senh ct
w = r sen φ

2) Para δ = ict:

x = (R + r cos φ) cos θ cosh ct
y = i (R + r cos φ) cos θ senh ct
z = (R + r cos φ) sen θ
w = r sen φ

Las diferentes interpretaciones físicas se analizarán en otra entrada.

Some time ago I explained my ideas about the Universe to the person who plays as a victim to me, listening to my rants before I decide to post something. Apparently paying attention he said: "What you should do now is to put it in the form of equations". I have to confess that at first it left me wordless, but over time I told myself I could give it a try. After quite some time mulling over it, some flashes were gradually appearing about how I could approach the problem and at the end I began to sketch something simple that can express my ideas mathematically. I must also admit that, in the course of the development of the equations, my view of the issue has changed slightly, but all that was told in previous posts has not changed in any way.

It is not my habit but I'll explain in some tedious way, step by step, some of the deductions of the equations that I'm going to write, essentially for those who are easily frightened with maths and for those who, like me, have many of these concepts quite forgotten and are somewhat rusty. My reason for doing so is that it would have been too easy to find equations on any site and hence find their implications. But I chose to make the deduction in a home-made sloppy way, with which I have had much more fun and ultimately my confidence in my own abilities has grown and it can help me to have a clearer vision of what I ultimately intend to deduce.

Without further ado, let's start.

The simplest way to define a space-time closed in time and space would be a hypersphere in four dimensions in which time would be one of those four dimensions and the other three would be the spatial dimensions. To where I have researched (not much, to say the truth) I haven’t found published such simple equations, so we will deduct them easily.

We will start from the equation of a sphere and introduce an extra dimension:

• 3D Sphere:

Implicit equation:

x² + y² + z² = R²

Parametric form:

x = R cos θ cos φ
y = R cos θ sin φ
z = R sin θ


• 4D Hypersphere:

Implicit equation:

x² + y² + z² + w² = R²

Parametric form:

x = R cos θ cos φ cos δ
y = R cos θ cos φ sin δ
z = R cos θ sin φ
w = R sin θ

As I already wrote in a previous post, my idea of the time coordinate is what Minkowski proposed in the interpretation of the 4-dimensional geometry for Special Relativity, defining the coordinates in the form (x, y, z, ict), being i the imaginary unit in complex numbers and c the speed of light in a vacuum.

In order not to repeat myself tediously at a later stage, I'll leave as an exercise for those who are interested, the interpretation of the variables that could represent time in this expression.

However, there is a great weakness. In this model the global curvature is positive and it seems that the Universe in which we live is flat.

One of the ideas that is quite popular (although I haven’t seen simple equations) is that the geometry of the Universe could be a 4D hypertorus (flat curvature).

To view it we can start from a 3D torus equation.

Parametric equations:

x = (R + r cos φ) cos θ
y = (R + r cos φ) sin θ
z = r sin φ

Implicit equation: (R - x² + y² )² + z ² = r ²

If we extrapolate with an additional dimension, we have a 4D hypertorus:

Parametric equations:

x = (R + r cos φ) cos θ cos δ
y = (R + r cos φ) cos θ sin δ
z = (R + r cos φ) sin θ
w = r sin φ

Implicit equation:

(R - x² + y² + z² )²+ w ² = r ²

In both equations, 4D hypertorus and 4D hypersphere, there’s a new angle δ, that we are not able to visualize in our three-dimensional mind but for the moment we will not worry about its display.

We could be easily tempted to let the fourth dimension w = ict to introduce a time in a "Minkowski way".

NOTE: To present this more formally, I will now use notation more in line with that used in curved geometries, introducing superscripts for the coordinates and, although it may seem confusing, I will also change δ to φ to make the presentation of results more familiar. This is only an aesthetic change; the result I want to highlight remains unchanged.

Then:

ict = r sin φ

r cos φ = r² – (ict)² = r² + (ct)²

So:

x ⁰ = ict

x ¹ = (R + r² + (ct)² )cos θ cos φ
x ² = (R + r² + (ct)² ) cos θ sin φ
x ³ = (R + r² + (ct)² )sin θ


It looks good, with three real dimensions (purely spatial) and a complex one (temporary).

Now we deduce the implicit equation to see if everything works:

(x ¹)² + (x ²)² = (R + r² + (ct)² )² cos² θ
(x ¹)² + (x ²)² + (x ³)² = (R + r² + (ct)²) )²
(x ⁰)² = -(ct)²

Then: (x ¹)² + (x ²)² + (x ³)² = (R + r² - (x⁰)² )²

That is the same as: (R - (x¹)² + (x²)² + (x³)² )² + (x ⁰)² = r², the equation seen before.

But I am not satisfied with it because I find it too Euclidean and it doesn’t add much to what we had because time remains open, when I have defended the idea of a closed time.

To explain a universe where time is closed, we can let one of the angular variables as time. So we could make that θ = ict or δ = ict, but it would introduce three dimensions with time components and one spatial, which would complicate things. I think the best solution is similar to that just inferred, but rather than ict = r sin φ, we let directly ict = φ.

Thus, we would have definitely:

x ⁰ = r sin ict
x ¹ = (R + r cos ict) cos θ cos φ
x ² = (R + r cos ict) cos θ sin φ
x ³ = (R + r cos ict) sin θ

It may seem that we are in a dead-end street, with four imaginary components. But I'm not going to give in so soon and we are going to manipulate the equations to see if we can find a satisfactory outcome.

Remembering Euler’s formula:

e^iα = cos α + i sin α

From where we can express the trigonometric functions as:

cos α = (e^iα + e^-iα) / 2
sin α = = (e^iα - e^-iα) / (2 i)

We have to remember hyperbolic functions as well:

cosh α = (e^α + e^-α) / 2
sinh α = (e^α - e^-α) / 2

Then, as i² = -1 and also - i = 1 / i:

cos ict = (e^i(ict) + e^-i(ict)) / 2 = (e^-ct + e^ct) / 2 = cosh ct
sin ict = (e^i(ict) - e^-i(ict)) / (2i) = (e^-ct - e^ct) / (2i) = - (sinh ct) / i = i sinh ct

Thus, we finally have:

x ⁰ = i r sinh ct
x ¹ = (R + r cosh ct) cos θ cos φ
x ² = (R + r cosh ct) cos θ sin φ
x ³ = (R + r cosh ct) sin θ


Where we see that we have three purely spatial dimensions (although they depend on t, they only have real components) and a temporary type (imaginary component).

Now we’ll see if all the calculi have been well done and the equation is still one of a 4D hypertorus:

(x ⁰)² = - r² sinh² ct
(x ¹)² = (R + r cosh ct)² cos² θ cos² δ
(x ²)² = (R + r cosh ct)² cos² θ sin² δ
(x ³)² = (R + r cosh ct)² sin² θ


(x ¹)² + (x ²)² = (R + r cosh ct)² cos² θ
(x ¹)² + (x ²)² + (x ³)²= (R + r cosh ct)²

r cosh² ct = r (1 + sinh² ct) = r² – (x ⁰)²
cosh ct = sqrt (r²-(x ⁰)²)

(x ¹)² + (x ²)² + (x ³)² = (R + sqrt(r² - (x ⁰)²))²

And it is.


Update 2016-01-06:

I have made a mistake not pondering before writing. As the Turkish proverb says: "Measure a thousand times but cut only once". When I wrote: " we could make θ = ict or δ = ict, but it would introduce three dimensions with time components and one spatial, which would complicate things" I didn't realize that the same manipulation I did with the angle φ to obtain only one imaginary dimension and three real ones can be made the same way with any angle variables with the same outcome, but it would have different physical interpretations.

Therefore, without going into unnecessary detail in the development, we would have two alternative sets of parametric equations to those we have seen before:

1) For θ = ict:

x = (R + r cos φ) cosh ct cos δ
y = (R + r cos φ) cosh ct sin δ
z = i (R + r cos φ) sinh ct
w = r sin φ

2) For δ = ict:

x = (R + r cos φ) cos θ cosh ct
y = i (R + r cos φ) cos θ sinh ct
z = (R + r cos φ) sin θ
w = r sin φ

The different physical interpretations will be analyzed in a further post.

Principios (3) Principles (3)

Uno de los problemas que no conseguía ver claro en la primera serie de entradas que escribí sobre las características que podía tener un modelo de universo cerrado sin bordes en espacio y en tiempo era el del corrimiento de las líneas espectrales al rojo, explicado por la cosmología convencional como una expansión del espacio-tiempo y simplemente dejé un apunte de que podría existir una explicación de este desplazamiento de origen cosmológico pero diferente a la expansión. Este problema me ha tenido preocupado bastante tiempo, intuía el qué, pero no el cómo.

Pero al fin, tras mucho darle vueltas, creo haberlo encontrado. Para comprender mi punto de vista vamos a razonar brevemente sobre este asunto. Se puede entender fácilmente que si un espacio delante de nosotros está altamente curvado, un objeto en ese espacio se vería aparentemente distorsionado espacialmente aunque al objeto realmente no le pasara nada, como ocurre con las lentes gravitatorias, por poner un ejemplo.

Igualmente en un tiempo altamente distorsionado la apariencia de los objetos distaría de ser la habitual. Y ¿cómo afectaría a la apariencia de lo que vemos? Mi punto de vista es que en un tiempo muy curvado el efecto sería el de alterar nuestra percepción de la frecuencia de la luz que recibimos, ya que la frecuencia de la luz no es otra cosa que el número de oscilaciones de la onda luminosa por unidad de tiempo.

Una posible crítica a este modelo es que si tenemos un universo cerrado, si un rayo de luz viaja en una dirección determinada podría acabar volviendo al punto de origen (recordemos, en espacio y tiempo) y aunque muy debilitado, podría sumarse al rayo de luz original y esto haría que pudiera crearse un efecto de acumulación de energía que tendría consecuencias complicadas de eludir. Yo podría salir por la vía fácil, argumentando que el rayo de luz se podría desviar y no recalar en el mismo punto, o que tras tanta distancia su efecto sería despreciable. Pero si sumamos toda la luz que recorre el universo, de una forma u otra, tendremos que atajar el problema de una forma menos chapucera.

Mi propuesta es que toda esa luz dando vueltas y más vueltas podría efectivamente sumarse a la original, eso sí teniendo en cuenta que habría, como he explicado antes, un desplazamiento de la frecuencia hacia el rojo por la curvatura cerrada del tiempo. Pero en definitiva sigue habiendo un efecto de suma de términos infinitos que no podríamos eludir. Sin embargo tengo una respuesta a esto. La suma de infinitos términos no es siempre una cantidad infinita. Por ejemplo, en una serie convergente tenemos una suma finita tras sumar infinitos elementos. Es la misma explicación que para las aporías de Zenón de Elea. De esta manera, tendríamos una radiación aproximadamente uniforme de fondo, muy desplazada hacia el rojo (mejor dicho hacia longitudes de onda más largas), pero no tan enorme como la propuesta para el caso de la paradoja de Olbers. Ahí nos encontramos con una vía para explicar la radiación de fondo de microondas sin recurrir al Big Bang.

One of the problems that I wasn't able to see clear in the first series of posts I wrote about the characteristics that a model of the universe closed without edges in space and in time could have was the spectral lines redshift, explained by conventional Cosmology as a space-time expansion and I simply drew a note that there might be an explanation for this displacement of cosmological origin but different from expansion.This problem has had me concerned for quite some time. I could see 'what' but not 'how'.

But in the end, after much wondering, I think I have found it. To understand my point of view we will briefly reason on this matter. You can understand easily that if a space in front of us is highly curved, an object in such space would be seen spatially distorted apparently although nothing really happened to it, as it is the case with gravitational lenses, for example.

Also in a highly distorted time the appearance of objects is far from normal. And how would it affect to the appearance of what we see? My point of view is that in a very curved time the effect would be the alteration in our perception of the frequency of the light we receive, since the frequency of light isn't anything else than the number of oscillations of the light waves per time unit.

A possible criticism of this model is that when we have a closed universe, a ray of light travelling in a certain direction could end up returning to the original point (remember, in space and time) and although very weakened, it could be added to the original light beam and this would mean that there could be an effect of accumulation of energy that would be difficult to avoid.Now I could take the easy way, arguing that the ray of light could divert and not arrive at the same point, or that after so much distance its effect would be negligible. But if we add all the light that travels across the universe, some way or another we will have to tackle the problem in a less sloppy way.

My proposal is that all that light after more and more turns could indeed be added to the original but considering -as I have explained above- a redshift by means of the closed curvature of time. But there remains eventually an effect of sum of infinite terms that we can not escape. However, I have an answer to this. The sum of infinite terms is not always an infinite amount. For example, in a convergent series we have a finite number after adding infinite elements. It is the same explanation as for the Zeno of Elea's paradoxes. In this way, we would have an approximately uniform radiation background, very redshifted (rather shifted towards longer wavelengths), but not as huge as the proposed for the case of the Olbers paradox.There we find a way to explain the microwave background radiation but not related to a Big Bang.